ВсОШ 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (10 кл.). 10 класс — Столкновение дисков

Закон сохранения импульса в случае равных масс дисков даёт $\vec v_1+\vec v_2=\vec v$, где $v_1$ и $v_2$ — векторы скорости дисков после удара, а $v$ — вектор скорости налетевшего диска до удара. Поэтому векторы скорости составляют треугольник, указанный на рисунке 18.

Сохранение энергии при упругом столкновении даёт $v_1^2+v_2^2=v^2$, то есть сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей. Отсюда следует, что угол между конечными скоростями прямой.

Скорость $\vec v_1$ первого диска после удара направлена по прямой $AB$. С другой стороны, она приобретается под действием силы, направленной по нормали к поверхности дисков в точке соприкосновения, то есть лежит на прямой, соединяющей центры дисков в момент удара. Поскольку угол между конечными скоростями прямой, то скорость второго шара $\vec v_2$ лежит на прямой, перпендикулярной $AB$ и проходящей через точку $C$. Тогда пересечение этих прямых — точка $E$ — даёт положение центра налетавшего диска в момент удара (рис. 19).

Длина отрезка $AB$ равна $L_1=v_1T$, а длина отрезка $EC$ равна $L_2=v_2T$, где $T$ — время, прошедшее с момента удара. Поскольку $v^2=v_1^2+v_2^2$, то

Значит, $v_1=0{,}8v$ и $v_2=0{,}6v$.