Съдържание

ВсОШ 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (11 кл.). 11 класс — Аннигиляция частиц

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Санкт-Петербург, 2007 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Фольклор	Слободянин В.	Соболев М.	Козел С.	—
10	Воробьёв И.	Фольклор	Козел С.	Плис В.	Козел С.
11	Козел С.	Воробьёв И., Ершов А.	Дельцов В.	Малеев А.	Жак С.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Гущин И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 11 марта 2008 г. в 13:18.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В вакууме на расстоянии $L=10\ \text{см}$ друг от друга находятся протон $p^+$ и антипротон $p^-$ . Обе частицы имеют одинаковые массы $m=1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{кг}$ и одинаковые по модулю заряды $e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{Кл}$ . В первый момент частицы неподвижны. При сближении частиц на расстояние $l=10^{-13}\ \text{м}$ происходит их аннигиляция с рождением $\gamma$ -квантов.

Электрическая постоянная $\varepsilon_0=0{,}885\cdot10^{-11}\ \text{Кл}^2/(\text{Н}\cdot\text{м}^2)$ .

Гравитационная постоянная $G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$ .

1 Какие скорости будут иметь частицы при таком сближении?

2 Через какое время произойдёт аннигиляция частиц?

3 Нужно ли при решении задачи учитывать гравитационные силы, действующие между частицами? Ответ поясните расчётом.

Решение

Задачу удобно решать, совместив начало координат с центром масс системы (точка $O$ , рис. 26). Сила притяжения протона и антипротона, находящихся на одинаковых расстояниях от точки $O$ , равна

F=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0(2r)^2}.

Таким образом, сила, действующая на каждую частицу, пропорциональна $1/r^2$ , где $r$ — расстояние от неподвижной точки $O$ . Следовательно, потенциальная энергия $E_p$ каждой частицы выражается формулой

E_p=\frac{-e^2}{16\pi\varepsilon_0r}.

Знак ( $-$ ) означает, что частицы притягиваются к точке $O$ . Запишем теперь закон сохранения энергии для каждой частицы:

-\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0(L/2)}=-\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0(x/2)}+\frac{mv^2}2.

Принимая во внимание, что $L\gg x$ , получим

v=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0xm}}=1{,}17\cdot10^6\ \text{м/с}\ll c,

где $c$ — скорость света.

Траектории частиц можно рассматривать как вырожденные эллипсы с большой полуосью $L/4$ . Время $t$ , через которое произойдет столкновение протона и антипротона и их аннигиляция, равно половине периода обращения по такому эллипсу. По третьему закону Кеплера период обращения частицы по эллипсу равен периоду обращения по круговой орбите радиуса $L/4$ .

Условие вращения по окружности радиуса $L/4$ вокруг точки $O$ запишется в виде

\frac{mv_0^2}{L/4}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0(2\cdot L/4)^2},

T^2=\left(\frac{2\pi L/4}{v_0}\right)^2=\frac{\varepsilon_0m(\pi L)^3}{e^2},

t=\frac T2=\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon_0m(\pi L)^3}{e^2}}\approx67\ \text{мс}.

Отношение $F_\text{гр}/F_\text{эл}$ гравитационной и электрической силы, действующих между частицами, равно

\frac{F_\text{гр}}{F_\text{эл}}=\frac{4\pi\varepsilon_0Gm^2}{e^2}\approx10^{-36}\ll1.

Таким образом, гравитационные силы принимать в расчёт не следует.

Система оценивания

Критерий	Баллы
Выражения для силы и для энергии	1
Закон сохранения энергии	1
Окончательное выражение для скорости	1
Численный ответ и проверка на отсутствие релятивистских эффектов	1
Идея движения по вырожденной эллиптической траектории	2
Условие вращения по окружности	1
Выражение для времени	1
Численный ответ	1
Оценка вклада гравитационной силы	1

Оригинал в Архива: final07T.pdf