ВсОШ 2007, Зонален етап, 8–11 клас — Задача 8.2. «Чёрный» ящик

• В «чёрном» ящике заключены два одинаковых резистора сопротивлением $R = r_{\min} = 1$ кОм (рис. 7); выводы 2 и 4 соединены проводом.

Конструктивная особенность «чёрного» ящика такова, что батарейку можно подключить только к выводам 1,2 или 3,4. Пусть напряжение на батарейке $U_0$.

Подключим батарейку к выводам 1,2 и запишем показания вольтметра, соответствующие его подключению к разным парам выводов «чёрного» ящика:

Такая ситуация возможна, если все выводы соединены между собой проводами или резисторами. Поскольку $U_{42} = 0$, заключаем, что выводы 4 и 2 «закорочены» проводом. Их можно рассматривать как один вывод 2. Рассмотрим получившийся «трёхполюсник». Минимальное число резисторов в таком ящике 3. Их можно соединить «звездой» или «треугольником».

Рассмотрим соединение «звездой» (рис. 5). В силу симметрии схемы в ней $R_1 = R_2$. Поскольку $U_{13} = U_0/2$, $U_{12} = U_0$, $U_{32} = U_0/2$, заключаем, что $R_3 = 0$.

Рассмотрим соединение «треугольником» (рис. 6). В силу симметрии схемы в ней $R_{13} = R_{32}$. Поскольку $U_{13} = U_0/2$, $U_{12} = U_0$, $U_{32} = U_0/2$, заключаем, что $R_{12} = \infty$. Но, в таком случае обе схемы эквивалентны.

Для проверки правильности сделанных выводов подключим батарейку к выводам 3,4 и повторим измерения по описанной ранее методике. Получится тот же результат.

Следовательно, в «чёрном» ящике заключены два одинаковых резистора сопротивлением $R = r_{\min} = 1$ кОм (рис. 7).

Рекомендации для организаторов. В качестве «чёрного» ящика желательно взять пластиковую или картонную трубку длиной 15–20 см. Длина каждого провода, выходящих из «чёрного» ящика не должна превышать 5 см. Используйте батарейку типа «Крона», снабжённую короткими ($\sim 3$ см) проводниками. Проводники следует припаять к полюсам батарейки или использовать соединительную колодку.