Съдържание

ВсОШ 2007, Зонален етап, 8–11 клас — Задача 5 (11 кл.). 11 класс — Пара неодинаковых линз

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Окружной этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Москва, 2006/2007 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников.

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
8	Кармазин С.	Чудновский А.	Крюков А.	Слободянин В.	—
9	Шведов О.	Дунин С.	Александров Д.	Шведов О.	—
10	Чудновский А.	Варгин А.	Воробьёв И.	Чудновский А.	Чудновский А.
11	Чудновский А.	Чудновский А.	Варгин А.	Чивилёв В.	Шведов О.

Оформление и вёрстка — Чудновский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 28 декабря 2007 г. в 15:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Две тонкие линзы Л $_1$ и Л $_2$ с фокусными расстояниями $F_1$ и $F_2$ расположены на расстоянии $L$ друг от друга. Тонкую линзу Л $_3$ располагают между линзами Л $_1$ и Л $_2$ таким образом, что любой луч, падающий на оптическую систему под малым углом к главной оптической оси, выходит из неё параллельно своему первоначальному направлению. Найдите фокусное расстояние $F_3$ линзы Л $_3$ и расстояния $l_1$ и $l_2$ от линзы Л $_3$ до линз Л $_1$ и Л $_2$ . Главные оптические оси всех трёх линз совпадают.

Примечание. Фокусные расстояния собирающих линз принимаются положительными, рассеивающих — отрицательными.

Решение

Тонкие линзы Л $_1$ и Л $_2$ переводят параллельные пучки лучей в пучки, проходящие через точки $A$ и $B$ соответственно (рис. 26). Следовательно, линза Л $_3$ должна переводить пучок лучей, проходящий через точку $A$ , в пучок лучей, проходящий через точку $B$ . Поскольку луч $AB$ не преломляется, он проходит через центр линзы $O_3$ ; отсюда однозначно восстанавливается плоскость линзы, перпендикулярная главной оптической оси системы. Фокусное расстояние линзы Л $_3$ определяется по формуле тонкой линзы.

Для получения количественного ответа введём систему координат: в качестве начала координат выберем центр линзы Л $_1$ , направим ось $Ox$ вдоль главной оптической оси, ось $Oy$ — перпендикулярно оси $Ox$ таким образом, чтобы лучи из параллельного пучка распространялись параллельно плоскости $Oxy$ . Обозначим малый угол наклона параллельного пучка лучей к главной оптической оси через $\alpha$ .

Точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(F_1,F_1\alpha)$ , $B(L-F_2,-F_2\alpha)$ . Центр $O_3$ линзы Л $_3$ , имеющий координаты $O_3(l_1,0)$ , лежит на прямой $AB$ ; отсюда

\frac{l_1-F_1}{-F_1\alpha}=\frac{L-l_1-F_2}{-F_2\alpha},

l_1=\frac{LF_2^{-1}}{F_1^{-1}+F_2^{-1}}=\frac{LF_1}{F_1+F_2},\qquad l_2=\frac{LF_2}{F_1+F_2}.

При этом должны выполняться соотношения $0<l_1<L$ , $0<l_2<L$ , поскольку линза Л $_3$ по условию лежит между линзами Л $_1$ и Л $_2$ . Следовательно, задача может иметь решение, только если обе линзы (Л $_1$ и Л $_2$ ) собирающие либо рассеивающие; если одна из линз собирающая, другая рассеивающая, задача решения не имеет.

Для нахождения фокусного расстояния $F_3$ линзы Л $_3$ запишем формулу тонкой линзы:

\frac1{l_1-F_1}+\frac1{l_2-F_2}=\frac1{F_3}.

Отсюда

F_3=\frac{F_1F_2(L-F_1-F_2)}{(F_1+F_2)^2}.

При $L=F_1+F_2$ задача решения не имеет.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Координаты точек A и B	2
Ответ для $l_1$ и $l_2$	4
Ответ для $F_3$	4

Оригинал в Архива: ok07T.pdf