ВсОШ 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.2. Линейка и нить

Возможное решение

При плотной обмотке отрезка линейки нитью площадь поверхности $S$ (без площади двух торцов) можно оценить как $S = Ld$, где $L$ длина намотанной нити, а $d$ её диаметр. При длине $H$ отрезка с плотной намоткой диаметр $d = H/N$, где $N$ число витков (см. рис.2). Поэтому $S = LH/N$. Длину нити $L$ можно измерить отрезком линейки.

Однако на такую обмотку выданной нити не хватит. Можно измерить площади участка за участком, а затем сложить их. Потребуется большой объём измерений и счёта при заметной погрешности из-за стыковки участков.

Но абсолютно плотная обмотка не обязательна!

Равномерно обмотаем нитью весь отрезок линейки, чтобы расстояния $h$ между соседними витками были малы и одинаковы, в чём можно убедиться по делениям линейки (рис. 3). Это $h$ теперь выступает в роли диаметра. В частности $h = H/N$, где $N$ число витков на всей длине отрезка. По длине намотанной нити $L$ определится и площадь боковой поверхности (за исключением двух торцов) $S \approx hL = HL/N$.

При числе витков $N \approx 50$ погрешность, связанная с особенностью концевых участков, не больше 1/50. Если ввести поправку на концевые участки, то эта погрешность станет меньше 1%. Другая погрешность состоит в том, что площади наклонных полосок рассчитываются как площади прямоугольников. Если учесть, что полоска длины $l$ при малом $d$ и плавном искривлении, представляют собой практически параллелограмм, то его площадь $s = hl/\sqrt{1+(h/2l)^2} \approx hl$. Поскольку $(h/2l)^2 \approx (H/2L)^2 \approx (1/20)^2$, то относительная точность заведомо лучше 0,5%. Основная погрешность связана с неучётом площади торцов, она при толщине линейки в 2 мм и длине отрезка 70 мм составляет $(2/70)100 \approx 3\%$. Можно, глядя на ребро с угла (рис. 4), оценить число витков на квадратике ребра, а тогда примерно с 10% точностью и площадь торцов. Это снизит общую погрешность с 3% до 0,3%. При проверке с помощью микрометра и миллиметровки в грубом варианте фактическая погрешность меньше 5%, а при «концевых» и «торцевых» поправках меньше 1%.

Примерная разбаловка из 10 баллов

1. Идея метода, обеспечивающего хорошую точность, – 2 балла.

2. Измерения – 2 балла.

3. Идеи поправок, внесение поправок – 2 балла.

4. Анализ источников погрешностей – 1 балла.

5. Оценка основных погрешностей – 1 балл.

6. Результат при ≤5% отклонении от «точного» – 1 балл, ≤ 2% – 2 балла.