ВсОШ 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.2. Толщина стекла

Возможное решение

Фиксируем лазерную указку на горизонтальном листе миллиметровки. Расположим на том же листе брусок так, чтобы луч от него попадал на отверстие (точка O на рис. 6). Свет, прошедший через отверстие и отразившийся от фольги в точке B, образует видимое пятнышко на полупрозрачном скотче (точка B на рис. 6). Если исходно сориентировать указку, чтобы луч AO шёл по линии миллиметровки, то измерение синуса угла падения $\alpha$ не составляет проблемы. Измеряем угольником длину отрезка OC, а на перпендикулярной AO линии миллиметровке OD находим проекцию точки C точку $C'$. Длина отрезка $CC'$ $h = L\sin\alpha$, где L длина OC. Для изменения $\alpha$ поворачиваем брусок, оставляя на месте миллиметровку и указку.

Для нахождения толщины стекла d по измеряемым значениям h и L воспользуемся законами преломления и отражения. Если показатель преломления стекла равен n, то $n\sin\beta = \sin\alpha$, а $L = 2d\,\mathrm{tg}\,\beta$, где $\beta$ угол преломления. Отсюда $L^2 = 4d^2\sin^2\alpha/(n^2 - \sin^2\alpha)$ и $n^2 - \sin^2\alpha = 4d^2\sin^2\alpha/L^2$. В непосредственно же измеряемых величинах $n^2 - h^2/L^2 = 4d^2h^2/L^4$. Этого достаточно, чтобы по двум измерениям найти n и d. Но есть смысл провести большее число измерений, чтобы уменьшить влияние случайной ошибки. Пусть $y = h^2/L^2$, а $x = 4h^2/L^4$, тогда $y = n^2 - d^2x$. По экспериментальным точкам построим график y от x, а по его наклону найдём искомое d. Значение же $n^2$ отвечает точке $y_0$ при $x = 0$ на этом графике. Такая обработка позволит равноправно учесть разные измерения, а по отклонению точек от прямой оценить возможные отклонения.

Погрешности велики при малом $\alpha$ (измерение малых расстояний по миллиметровой сетке), при $\alpha$ же близком к 90° почти не видно пятнышко отражённого света. Поэтому разумно ограничиться диапазоном углов примерно от 30 до 60°.

Примерная разбаловка из 15 баллов

1. Метод измерения, обеспечивающего хорошую точность, – 2 балла.

2.Измерения, минимально необходимые, – 2 балла.

3.Наличие дополнительных измерений – 1 балла.

4. Расчётные формулы (способ) для нахождения d и n (2 + 2) – 4 балла.

5. Указание и оценка основных погрешностей и суммарной погрешности – 2 балла.

6. Результат для d при ≤10% отклонении от «точного» – 1 балл, ≤ 5% – 2 балла.

7. Результат для n при ≤10% отклонении от «точного» – 1 балл, ≤ 5% – 2 балла.