Съдържание

ВсОШ 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (10 кл.). 10 класс — Колесо с ребордой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Новосибирск, 2008 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Козел С.	Слободянин В.	Слободянин В.	Козел С.	—
10	Слободянин В.	Козел С.	Козел С.	Соболев М.	Кармазин С.
11	Гуденко А.	Осин М.	Ольховец А.	Фольклор	Тарнопольский Г.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 31 января 2013 г. в 16:22.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

По рельсам катится с постоянной скоростью вагонетка. Радиус её колеса равен $r$ , а радиус реборды (бортика, выступающего за обод колеса и предохраняющего колесо от схода с рельса) существенно больше. В некоторый момент времени скорости двух диаметрально противоположных точек $A$ и $B$ обода равны по модулю $v_A$ и $v_B$ соответственно (рис. 5).

1 С какой скоростью $v_0$ катится колесо?

2 В тот же момент времени скорость некоторой точки $C$ , находящейся на реборде, направлена вертикально и равна $v_C$ . Однозначно ли определяется положение этой точки?

3 Чему равна проекция ускорения $a_{Cy}$ этой точки на вертикальную координатную ось?

Решение

Скорости точек $A$ и $B$ можно выразить через скорость поступательного движения колеса как целого и скорость вращательного движения. Но проще воспользоваться идеей о мгновенной оси вращения для тела, катящегося без проскальзывания. Обозначим точку касания колеса с рельсом буквой $D$ . Скорость этой точки равна нулю. Ось, проходящая через точку $D$ — мгновенная ось вращения всех точек колеса. Пусть расстояние $AD=L$ , а расстояние $BD=l$ (рис. 21). Предположим, что угловая скорость вращения колеса равна $\omega$ . Тогда скорость $v_A=\omega L$ , скорость $v_B=\omega l$ , а скорость колеса $v_0=\omega r$ . По условию $AB=2r$ . Угол $ABD$ прямой, так как он опирается на диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора $L^2+l^2=(2r)^2$ . Умножим это равенство на квадрат угловой скорости: $L^2\omega^2+l^2\omega^2=(2r)^2\omega^2$ . Легко видеть, что получившееся выражение эквивалентно равенству $v_A^2+v_B^2=(2v_0)^2$ . Следовательно, искомая скорость

v_0=\frac{\sqrt{v_A^2+v_B^2}}2.

Поскольку вектор скорости точки $C$ направлен вертикально, эта точка должна находиться на одном уровне с рельсом, а её скорость $v_C=\omega x$ , где $x=CD$ . Таких точек две: по одной слева и справа от мгновенной оси вращения (точки $D$ ).
Пусть расстояние $OC$ от оси колеса до точки $C$ равно $R$ . Ускорение любой заданной точки колеса одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Найдем ускорение точки в системе отсчёта движущейся, как и центр колеса, поступательно со скоростью $v_0$ .

Ускорение

a_C=\omega^2R=\left(\frac{v_0}r\right)^2R.

Его проекция на вертикальную ось

a_{Cy}=a_C\frac rR=\left(\frac{v_0}r\right)^2R\frac rR=\frac{v_0^2}r=\frac{v_A^2+v_B^2}{4r}

и одинакова для всех точек колеса, находящихся на одном уровне с рельсом!

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Определение скорости $v_0$	5
Определение ускорения $a_C$	3
Определение проекции ускорения $a_{Cy}$	2

Оригинал в Архива: final08T.pdf