Съдържание

ВсОШ 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (11 кл.). 11 класс — Груз с пружинами

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Новосибирск, 2008 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Козел С.	Слободянин В.	Слободянин В.	Козел С.	—
10	Слободянин В.	Козел С.	Козел С.	Соболев М.	Кармазин С.
11	Гуденко А.	Осин М.	Ольховец А.	Фольклор	Тарнопольский Г.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 31 января 2013 г. в 16:22.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

На гладком горизонтальном столе лежит груз массы $m$ , к которому прикреплены две одинаковые пружины жесткости $k$ каждая (рис. 10).

Левый конец пружины I прикреплён к стенке, в момент времени $t=0$ правый конец пружины II начинают медленно перемещать с постоянной скоростью $u$ .

Указание. Перейдите в систему отсчёта, движущуюся со скоростью $u/2$ .

1 Через какое время груз впервые приобретёт скорость $u$ ?

2 На каком расстоянии от первоначального положения будет он в этот момент находиться?

Решение

Введем обозначения: $x$ — смещение груза из первоначального положения, $y=ut$ — смещение правого конца пружины II (рис. 28).

На груз действуют упругие силы:

F_1=kx,\qquad F_2=(y-x)k=(ut-x)k.

Результирующая сила:

F=F_2-F_1=kut-kx-kx=k(ut-2x).

Второй закон Ньютона (уравнение движения груза) запишется в виде:

ma_x=k(ut-2x).

Перейдём теперь в систему отсчёта, движущуюся с постоянной скоростью $u/2$ относительно «неподвижной» системы. Обе системы инерциальные, поэтому ускорения груза в обеих системах одинаковы: $a_x=a_z$ . В момент времени $t$ начало координат новой системы находится в точке $x'=t\cdot u/2$ . Координата груза в этот момент времени равна: $z=-(x'-x)=-x'+x$ . Второй закон Ньютона в «движущейся» системе отсчета запишется в виде:

ma_z=k(ut-2z-ut)=-2kz.

Это уравнение свободных колебаний груза с угловой частотой

\omega_0=\sqrt{\frac{2k}m}.

В момент времени $t=0$ груз находится в начале координат «движущейся» системы $z_0=0$ и имеет скорость $v_0=-u/2$ . Через полпериода колебаний

\Delta t=\frac T2=\frac\pi{\omega_0}=\pi\sqrt{\frac m{2k}}

скорость груза в этой системе будет равна $+u/2$ и он снова будет находиться в точке $z=0$ . Следовательно, в «неподвижной» системе скорость груза в этот момент будет равна $u$ , а его координата

x=\frac u2\Delta t=\frac\pi2u\sqrt{\frac m{2k}}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Определение результирующей силы, действующей на груз	1
Запись второго закона Ньютона	1
Переход в движущуюся систему отсчёта	2
Уравнение движения груза	2
Определение частоты свободных колебаний	1
Учёт начальных условий	1
Время достижения грузом скорости $u$	1
Определение координат груза в момент достижения скорости $u$	1

Оригинал в Архива: final08T.pdf