Съдържание

ВсОШ 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (9 кл.). 9 класс — Разгон автомобиля

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Новосибирск, 2008 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Козел С.	Слободянин В.	Слободянин В.	Козел С.	—
10	Слободянин В.	Козел С.	Козел С.	Соболев М.	Кармазин С.
11	Гуденко А.	Осин М.	Ольховец А.	Фольклор	Тарнопольский Г.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 31 января 2013 г. в 16:22.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Автомобиль стартует с ускорением $a_0$ . Из-за сопротивления воздуха ускорение падает по мере увеличения скорости $v$ по закону $a\sim(v_0+v)^{-1}$ , где $v_0$ — известный коэффициент.

1 Постройте график, изображающий связь между $a$ и $v$ , выбрав координаты так, чтобы он являлся отрезком прямой линии.

2 Через какое время $t_0$ после начала движения автомобиль достигает скорости $v_0$ ?

3 Определите зависимость скорости $v$ от времени $t$ и постройте (качественно) график $v(t)$ .

Решение

Ускорение автомобиля $a=C/(v_0+v)$ , где $C$ — постоянный коэффициент, который можно найти из начальных условий: $a_0=C/v_0$ . Отсюда

a=\frac{a_0v_0}{v_0+v}=a_0\frac1{1+v/v_0}.

По определению $a=\Delta v/\Delta t$ . Следовательно,

\Delta t=\frac1a\Delta v=\frac1{a_0}\left(1+\frac v{v_0}\right)\Delta v.\qquad (1)

Из формулы (1) видно, что $a^{-1}$ зависит от скорости $v$ линейно (рис. 16).

Площадь трапеции высотой $\Delta v$ численно равна промежутку времени $\Delta t$ , который требуется для увеличения скорости на $\Delta v$ . Соответственно, площадь под графиком в диапазоне скоростей от 0 до $v_0$ численно равна времени разгона.

Для определения площади под графиком воспользуемся формулой для площади трапеции. Тогда искомое время

t_0=\frac12\left(\frac1{a_0}+\frac2{a_0}\right)\cdot v_0=\frac32\cdot\frac{v_0}{a_0}.

Используя график зависимости $a^{-1}$ от $v$ , можно найти зависимость скорости $v$ от времени $t$ . Для этого нужно найти для произвольного значения $v$ площадь трапеции с основаниями $a_0^{-1}$ и $(1+v/v_0)a_0^{-1}$ и высотой $v$ . Эта площадь равна времени $t$ , необходимому для достижения скорости $v$ :

\frac1{2a_0}\left(2+\frac v{v_0}\right)v=t,\qquad\text{или}\qquad v^2+2v_0v-2a_0v_0t=0.

Решая квадратное уравнение, получим

v=-v_0\pm\sqrt{v_0^2+2a_0v_0t}.

Так как $v\geqslant0$ , знак «−» в решении квадратного уравнения не имеет физического смысла. Итак,

v=-v_0+\sqrt{v_0^2+2a_0v_0t}.

График этой зависимости качественно представлен на рисунке 17.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Определение зависимости $a(v)$	1
Формула, связывающая изменения $\Delta v$ и $\Delta t$	2
Выбор координат для построения линейного графика	1
Определение времени $t_0$ по графику	2
Определение по графику скорости в любой момент времени	2
Формула для $v(t)$	1
Качественный график $v(t)$	1

Оригинал в Архива: final08T.pdf