Съдържание

ВсОШ 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (10 кл.). 10 класс — Шайба на наклонной плоскости

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Новосибирск, 2008 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Козел С.	Слободянин В.	Слободянин В.	Козел С.	—
10	Слободянин В.	Козел С.	Козел С.	Соболев М.	Кармазин С.
11	Гуденко А.	Осин М.	Ольховец А.	Фольклор	Тарнопольский Г.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 31 января 2013 г. в 16:22.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

На наклонной плоскости находится небольшая шайба массы $m$ (рис. 6). К шайбе прикреплён один конец лёгкой пружины жёсткости $k$ и длины $L$ (в недеформированном состоянии). Другой конец пружины закреплён в некоторой точке $O$ . Угол $\alpha$ наклона плоскости и коэффициент трения $\mu$ шайбы о плоскость связаны соотношением: $\operatorname{tg}\alpha=\mu$ . Определите области, в которых шайба находится в состоянии равновесия, их границы и изобразите их качественно на плоскости $xy$ в двух случаях:

1 Пружина подчиняется закону Гука как при растяжении, так и при сжатии.

2 Пружина подчиняется закону Гука только при растяжении (например, пружина заменена лёгкой резинкой).

Решение

Изобразим на плоскости $xy$ окружность радиуса $L$ и введём обозначение $r=L+z$ (рис. 22). Здесь $z$ — деформация пружины. Рассмотрим силы, действующие на шайбу: $F_\text{упр}=kz$ — упругая сила, $mg\sin\alpha$ — составляющая силы тяжести вдоль плоскости (рис. 23).

Равнодействующая $F$ этих сил может быть найдена с помощью теоремы косинусов:

F^2=(kz)^2+(mg\sin\alpha)^2+2\cdot kz\cdot mg\sin\alpha\cdot\sin\theta.

Сила $F$ не может превышать по модулю максимальную силу трения покоя:

F_{\text{тр. max}}=\mu mg\cos\alpha,

F\leqslant F_{\text{тр. max}}=mg\sin\alpha\quad(\text{так как }\operatorname{tg}\alpha=\mu).

В итоге получаем уравнение, определяющее границы областей равновесия:

(kz)^2+2kz\cdot mg\sin\alpha\cdot\sin\theta=0.

Это уравнение имеет два корня:

$z=0$ — граница совпадает с окружностью радиуса $L$ .
$z=-\dfrac{2mg}k\sin\alpha\sin\theta=-A\sin\theta$ , где $A=\dfrac{2mg}k\sin\alpha>0$ .

I случай: пружина работает как на растяжение, так и на сжатие (рис. 24):

0\leqslant\theta\leqslant\pi\quad\text{— сжатие},

\pi\leqslant\theta\leqslant2\pi\quad\text{— растяжение}.

x=(L+z)\cos\theta=(L-A\sin\theta)\cos\theta=L\cos\theta-\frac A2\sin2\theta,

y=(L+z)\sin\theta=(L-A\sin\theta)\sin\theta=L\sin\theta-A\sin^2\theta.

II случай: пружина работает только на растяжение (рис. 25). В этом случае вся область внутри окружности радиуса $L$ является равновесной, так как отсутствуют упругие силы. К этой области добавляется область растяжения из I случая. Значениям $0\leqslant\theta\leqslant\pi$ соответствует $r=L$ , $\pi\leqslant\theta\leqslant2\pi$ — граница области, как в I случае.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Условие равновесия шайбы	2
Уравнение для границ областей равновесия	2
Определение границ областей равновесия в I случае (пружина)	2
График областей равновесия в I случае	1
Определение границ областей равновесия во II случае (резинка)	2
График областей равновесия во II случае	1

Оригинал в Архива: final08T.pdf