Съдържание

ВсОШ 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (11 кл.). 11 класс — Вращение заряженного цилиндра

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Новосибирск, 2008 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Козел С.	Слободянин В.	Слободянин В.	Козел С.	—
10	Слободянин В.	Козел С.	Козел С.	Соболев М.	Кармазин С.
11	Гуденко А.	Осин М.	Ольховец А.	Фольклор	Тарнопольский Г.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 31 января 2013 г. в 16:22.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

На длинном тонкостенном диэлектрическом цилиндре радиуса $R$ , длины $L\gg R$ и массы $M$ размещён электрический заряд с одинаковой поверхностной плотностью $\sigma$ ( $\text{Кл/м}^2$ ). Цилиндр может свободно (без трения) вращаться вокруг своей оси под действием груза массы $m$ , подвешенного на невесомой нити, намотанной на цилиндр (рис. 11). Определите ускорение груза.

Магнитную постоянную $\mu_0$ считать заданной.

Решение

При вращении цилиндра возникает круговой ток, создающий магнитное поле внутри цилиндра. Полная сила тока, текущего по поверхности цилиндра, равна $I=\sigma vL$ , где $v$ — линейная скорость зарядов. Ток, приходящийся на единицу длины цилиндра, $i=I/L=\sigma v$ . Магнитное поле $B$ внутри цилиндра совпадает с магнитным полем длинной катушки:

B=\frac{\mu_0I}L=\mu_0\sigma v.

Плотность магнитной энергии $w_\text{М}=B^2/(2\mu_0)=\mu_0\sigma^2v^2/2$ . Полная энергия магнитного поля $W_\text{М}=w_\text{М}\cdot\pi R^2L=kv^2/2$ , где $k=\pi\mu_0\sigma^2R^2L$ .

Кинетическая энергия вращающегося цилиндра и груза $W_\text{К}=(m+M)v^2/2$ . Если координатную ось $x$ направить вниз, то потенциальная энергия груза запишется в виде $W_\text{П}=-mgx+\mathrm{const}$ .

Запишем теперь закон сохранения энергии, включая механическую энергию вращающегося цилиндра и груза и энергию магнитного поля внутри цилиндра:

W_\text{К}+W_\text{П}+W_\text{М}=\mathrm{const}\qquad\text{или}\qquad(m+M+k)\frac{v^2}2-mgx=\mathrm{const}.

Принимая во внимание, что $v=\dfrac{dx}{dt}$ и $a=\dfrac{dv}{dt}$ , получим, продифференцировав это уравнение по времени:

a=\frac{mg}{m+M+k}=\frac{mg}{m+M+\pi\mu_0\sigma^2R^2L}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Выражение для силы поверхностного тока	1
Вычисление магнитной индукции	1
Формула для плотности магнитной энергии	2
Полная энергия магнитного поля	1
Кинетическая энергия вращающегося цилиндра	1
Потенциальная энергия груза	1
Закон сохранения энергии	2
Определение ускорения груза	1

Оригинал в Архива: final08T.pdf