Съдържание

ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 14. Очень толстая линза

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Прозрачная пластина с показателем преломления $n$ ограничена двумя сферическими поверхностями с радиусами кривизны $R$ и $r < R$ .

1. Какой должна быть толщина пластины $L$ , чтобы падающий на поверхность с радиусом кривизны $R$ параксиальный пучок света преобразовывался в параллельный?

2. Во сколько раз увеличивается интенсивность пучка света (энергия, переносимая за единицу времени через единицу площади) после прохождения через пластину?

3. Какое угловое увеличение для удалённых предметов даёт пластина? Потерями энергии пучка внутри пластины можно пренебречь.

Отговори

Решение

Рассмотрим сначала вспомогательную задачу о падении параллельного пучка света на сферическую поверхность радиуса $R$ , отделяющую среду с показателем преломления $n$ от воздуха. Рассмотрим два луча, падающие на поверхность раздела под малыми углами. Пусть луч $DOF$ (рис. 25) проходит через центр шара. Другой луч, $ABF$ , преломляется в точке В на границе раздела сред, падая на неё под углом $\alpha$ . Тогда $\angle OBF = \alpha/n$ как угол преломления, $\angle BOD = \alpha$ ; из $\triangle BOF$ находим, что $\angle BFO = \alpha - \alpha/n$ . Применим к $\triangle BOF$ теорему синусов и учтём, что синус малого угла приближённо равен самому углу в радианах:

\frac{\alpha/n}{|OF|} \approx \frac{\alpha(1 - 1/n)}{|BO|} \approx \frac{\alpha}{|BF|},

Преломление на сферической поверхности: луч DOF через центр O и луч AB, преломлённый в точке B под углом α/n и приходящий в фокус F; углы α при B и O. — Рис. 25

отсюда $|BF| = |BO|/(1 - 1/n) = Rn/(n - 1)$ . Таким образом, узкий параллельный пучок лучей после преломления на сферической поверхности раздела сред сходится в фокусе, находящемся от поверхности раздела на расстоянии $Rn/(n - 1)$ на луче, проходящем через центр.

Аналогичным образом получаем, что при падении на вогнутую сферическую поверхность раздела сред (радиус $R$ ) параллельный пучок света преобразуется в расходящийся, продолжения лучей пересекаются на расстоянии $Rn/(n - 1)$ от поверхности.

Перейдём теперь к ответам на вопросы задачи. Параллельный пучок света будет преобразован оптической системой в параллельный, если фокусы двух сферических поверхностей совпадают. В условии не сказано, выпуклыми или вогнутыми являются поверхности раздела. Поэтому следует рассмотреть все возможные случаи.

[l] Если предположить, что поверхность большего радиуса вогнутая, то получаемый после преломления на ней расходящийся пучок может быть преобразован в параллельный только путём преломления на поверхности радиуса $r > R$ , что противоречит условию задачи. Напротив, поверхность радиуса $r$ может быть как выпуклой, так и вогнутой (рис. 26). В обоих случаях $|AF| = Rn/(n - 1)$ , $|BF| = rn/(n - 1)$ . Следовательно, в первом случае $l = |AB| = (R - r)n/(n - 1)$ , во втором случае $l = |AB| = (R + r)n/(n - 1)$ .

Два варианта толстой пластины: сверху мениск (поверхность радиуса r вогнутая) с точками F, B, A на оси; снизу двояковыпуклая пластина с точками B, F, A на оси. — Рис. 26

При прохождении через пластинку пучок света сжимается в $R/r$ раз, следовательно, его интенсивность возрастает в $(R/r)^2$ раз.
Найдём угловое увеличение, даваемое пластинкой. Для этого рассмотрим вспомогательную задачу: определим, под каким углом $\gamma$ к оси симметрии (рис. 27) должен падать параллельный пучок света, чтобы после преломления на сферической поверхности радиуса $R$ сойтись в точке $F'$ на расстоянии $y$ от фокуса $F$ в фокальной плоскости. Из симметрии относительно поворота вытекает, что

Наклонный пучок под углом γ к оси, преломляющийся на сферической поверхности (точка B) и сходящийся в точке F′ фокальной плоскости рядом с фокусом F; отмечены O, D, A, углы γ и γ/n. — Рис. 27

\gamma = \frac{y}{|OF|} = \frac{y(n - 1)}{R}.

Следовательно, падающий на сферическую поверхность под углом $\gamma$ параллельный пучок света после преломления сходится в точку в фокальной плоскости, находящуюся на расстоянии $\gamma R/(n - 1)$ от фокуса $F$ .

Таким образом, пучок, падающий на пластинку под углом $\gamma_1$ к оси симметрии параллельно ей, выходит из пластинки под углом $\gamma_2$ , определяемым из соотношения $\gamma_1R/(n - 1) = \gamma_2r/(n - 1)$ . Отсюда находим угловое увеличение: $\gamma_1/\gamma_2 = r/R$ .

Оригинал в Архива: ok08T.pdf