ВсОШ 2009, Регионален етап · западен вариант, 7–11 клас — Задача 2 (10 кл.). 10 класс — Динамометр

Обозначим через $a$ ускорение груза $m_1$, через $T_1$ — силу натяжения нити, привязанной к грузу $m_1$, а через $T_2$ — к грузу $m_2$ (рис. 17). Поскольку в процессе движения никакие силы не изменяются, то ускорения динамометра и второго груза по величине также равны $a$. Запишем уравнения движения для каждого из грузов и динамометра в общем случае. В проекции на вертикальную и горизонтальную ось:

где $F_{\text{тр}}$ — сила трения, действующая на динамометр.

Найдём условие, при котором динамометр не проскальзывает. В этом случае $a=0$, а условие выглядит как $|F_{\text{тр}}|\leq F_{\text{тр}\max}=\mu Mg$. Из предыдущей системы уравнений при $a=0$ получаем, что $F_{\text{тр}}=T_2-T_1=(m_2-m_1)g$, и записанное условие примет вид:

В этом случае показания динамометра:

Теперь рассмотрим случай, когда между столом и динамометром есть проскальзывание, то есть $|m_2-m_1|>\mu M$. В этом случае $|F_{\text{тр}}|=\mu Mg$.

Пусть $m_2>m_1+\mu M$. Тогда сила трения направлена влево, и из уравнений (2), (3) и (4) получаем:

Из последнего уравнения системы получаем, что показания динамометра равны:

Осталось рассмотреть случай, когда $m_2<m_1-\mu M$. Тогда сила трения направлена вправо, и из уравнений (2), (3) и (4), проводя аналогичные вычисления, получим: