ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.2. Колебания линейки

Для решения задачи необходимо закрепить вертикально деревянную линейку на штативе около колеблющегося конца металлической линейки длиной $L$. Тогда, отклоняя конец металлической линейки с шариком на расстояние $A$ (которое измеряется деревянной линейкой) и резко его отпуская, мы получим катапульту для запуска шариков вертикально вверх (рис. 10). При этом мы можем заметить высоту взлета шарика $h$ — этих данных нам хватит, чтобы определить частоту колебаний металлической линейки. Клипса служит для фиксации амплитуды отклонения линейки.

Будем считать, что при малых отклонениях $A \ll L$ колебания линейки будут гармоническими, следовательно мы можем записать закон движения конца линейки:

Тогда решение можно записать в виде:

здесь время отсчитывается от момента прохождения линейкой состояния покоя.

Определим момент отрыва шарика $t_0$. Отрыв происходит, когда сила взаимодействия шарика и линейки равна нулю:

В момент отрыва шарика от линейки их скорости равны:

Решая полученную систему уравнений, получим:

Для каждой длины $L$ отклонение линейки $A$ подбирается таким образом, чтобы высота подъема шариков была $h = 10$–$20$ см — при таких высотах можно измерить высоту подъёма с точностью 0,5 см, и при этом амплитуда $A$ будет малой — порядка 1 см ($A$ мало и стоит в знаменателе в первой степени, поэтому к измерению этой величины надо проявить максимальное внимание). Точность в определении $h$ можно достичь, производя $N$ пусков при постоянных $L$ и $A$. В наших измерениях разброс $h$ получался порядка 1,5 см, поэтому для получения точности лучше 0,5 см (точность определения высоты подскока шарика $h$) необходимо произвести $N \geqslant (1{,}5/0{,}5)^2 \approx 9$ бросков.

Критерии оценивания

Описана идея измерений … 3

Выражена $\omega$ через $h$ и $A$ … 2

Снята зависимость $h(L)$ … 4

Проведены повторные опыты для статистики … 2

Построен график $\omega(L)$ … 4