Съдържание

ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.1. Формула Герца

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2009

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур · 15 т.

Условие

Подвесьте шарики на бифиллярных подвесах (рис. 6). Исследуйте, как зависит время соударения $\tau$ двух одинаковых стальных шариков, от их относительной скорости $v$ , предполагая, что оно удовлетворяет зависимости $\tau = Bv^{\alpha}$ . Определите показатель степени $\alpha$ . По полученным данным определите время соударения $\tau_1$ при относительной скорости $v_1 = 10$ м/с.

Два шарика, каждый подвешен на двух нитях (бифилярный подвес) к наклонным линейкам; шарики касаются друг друга; подпись «линейки». — Рис. 6

Проведите измерения для не менее чем семи различных относительных скоростей шариков. Погрешность измерения времени для каждого значения скорости не должна превышать 20 %.

Примечание. Если незаряженный конденсатор большой ёмкости заряжается в течение небольшого промежутка времени и напряжение на нём достаточно мало, так что ток зарядки $I_C$ практически не меняется, то справедливо соотношение:

I_C = \frac{dq_C}{dt} \simeq \frac{\Delta q_C}{\Delta t} = \frac{q_C}{t}.

Оборудование. Два стальных шарика; тонкая медная проволока без изоляции; бумажный транспортир; три деревянных линейки; конденсатор известной ёмкости С = 20 мкФ; резистор с известным сопротивлением $R = 68$ Ом; батарейка; две кнопки; соединительные провода; мультиметр в режиме вольтметра с внутренним сопротивлением $R_V = 1{,}0$ МОм, последовательно соединённый с резистором $r_V$ (номинальное значение в МОм написано на рабочем месте); шесть клеммных колодок; отвёртка; два провода с зажимами «крокодилами»; скотч.

Решение

Подвесим шарики на бифилярном подвесе, сделанном из медной проволоки и линеек, так, что шарики находятся на одинаковой высоте. Соберём схему (рис. 9) и включим в разрыв цепи два шарика, подключившись к медной проволоке с помощью крокодилов. Кнопку $K_1$ включим параллельно конденсатору $C$ для его быстрой разрядки, а $K_2$ включим последовательно с батарейкой в цепь так, чтобы цепь можно было замыкать при нажатии кнопки. Отпуская эту кнопку после первого соударения шариков, мы разомкнём цепь, чтобы последующие соударения не влияли на результат. Подключим вольтметр с последовательным резистором $r_V$ параллельно конденсатору. Напряжение на конденсаторе будет равно:

U_C = U_V\left(\frac{r_V}{R_V} + 1\right). \qquad (1)

Схема: два шарика на бифилярных подвесах включены в цепь; параллельно конденсатору C включены вольтметр V с последовательным резистором r_V и кнопка K_1; через кнопку K_2 подключены батарея ℰ (полюса − и +) и резистор R. — Рис. 9

Прикрепим бумажный транспортир так, чтобы его центральная точка совпадала с точкой подвеса одного из шариков. «Обнулим» напряжение на конденсаторе, разрядив его с помощью кнопки $K_1$ . Отведём один шарик в сторону и, совмещая изображения двух нитей подвеса шарика, определим угол его отклонения от вертикали. Нажмём на кнопку $K_2$ и отпустим её после первого соударения. Теперь по формуле (1) мы можем определить напряжение на конденсаторе (которое обусловлено зарядкой конденсатора в течение времени соударения). Повторим измерения для различных значений углов и/или длин подвеса, повторяя измерения для каждого значения параметров столько раз, сколько необходимо для достижения заданной точности.

Выразим напряжение на конденсаторе $U_c$ через время соударения шариков. При соударении шарики замыкают собой цепь. Считая, что сопротивление шариков в течение всего процесса соударения пренебрежимо мало, получаем выражение для зарядки конденсатора через резистор:

I_CR + U_C = \mathscr{E}.

Считая, что напряжение на конденсаторе всегда мало (смотри примечание в условии), получаем:

I_C = \frac{\mathscr{E}}{R} = \frac{q_C}{\tau} = \frac{CU_C}{\tau}, \qquad \text{и окончательно,} \qquad \tau = RC\frac{U_C}{\mathscr{E}}.

Относительная скорость шариков:

v = \frac{1}{2}\sqrt{2gh} = \frac{1}{2}\sqrt{2gL(1 - \cos\varphi)},

где $L$ — длина подвеса, $\varphi$ — угол отклонения шарика от вертикали.

ЭДС батарейки измеряем вольтметром, определяя её по формуле (1). Строим график в координатах $\ln\tau$ от $\ln v$ . Убеждаемся, что график ложится на прямую. По угловому коэффициенту наклона данной прямой определяем коэффициент $\alpha$ и погрешность.

\ln\tau = \ln RC\frac{U_C}{\mathscr{E}} = \ln\frac{RC}{\mathscr{E}} + \ln U_C = \ln Bv^{\alpha} = \ln B + \alpha\ln v.

Таким образом, $\alpha = -0{,}2$ . В данном эксперименте погрешность можно уменьшить до 5 %.

Критерии оценивания

Схема измерений … 4

Приведена формула для $\tau$ и для $v$ … 2

Снята зависимость $U_C(\alpha)$ … 4

Построен график $\ln(\tau/\tau_0)$ от $\ln(v/v_0)$ … 3

Определён коэффициент $\alpha$ … 2

Оригинал в Архива: finalE09.pdf