Съдържание

ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5 (11 кл.). 11 класс — Задача с двумя линзами

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2009

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Жуковский, 2009 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Чивилёв В.	Слободянин В.	Проскурин М.	Воронов А.	—
10	Подлесный Д.	Слободянин В.	Воробьёв И.	Козел С., Слободянин В.	Шеронов А.
11	Захарченко К.	Шеронов А.	Козел С.	Тарнопольский Г.	Козел С.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 6 мая 2009 г. в 19:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

На экспериментальном туре физической олимпиады участникам было предложено определить фокусные расстояния двух тонких собирающих линз, расположенных в торцах полого цилиндра длиной $L=20{,}0\ \text{см}$ (рис. 12).

Один из участников, Вася Зазнайкин, аккуратно выполнил эксперименты и получил следующие результаты:

Если слева от левого торца цилиндра на его оси на расстоянии $l_1=5{,}0\ \text{см}$ расположить точечный источник света, то после прохождения через систему свет выходит из правого торца параллельным пучком.
Если на левый торец послать параллельный пучок света, то справа от правого торца на расстоянии $l_2=10{,}0\ \text{см}$ лучи сходятся в одну точку, лежащую на оси цилиндра.

Однако, рассчитать по этим экспериментальным данным фокусные расстояния $F_1$ и $F_2$ обеих линз Зазнайкин не смог. Помогите бедному Васе.

Решение

В первом эксперименте световые лучи (или их продолжения), после прохождения первой линзы должны пересекаться в переднем фокусе второй линзы. Применяя формулу тонкой линзы к линзе Л $_1$ , получим:

\frac1{l_1}+\frac1{L-F_2}=\frac1{F_1}.\qquad (6)

Во втором эксперименте лучи обязательно проходят через задний фокус линзы Л $_1$ . Применяя формулу тонкой линзы к линзе Л $_2$ , получим:

\frac1{l_2}+\frac1{L-F_1}=\frac1{F_2}.\qquad (7)

Заметим, что обе формулы (6), (7) отличаются только заменой индексов 1 и 2 местами.

Теперь нужно из (6) и (7) исключить одно из фокусных расстояний (например, $F_2$ ). Исходя из формулы (7),

F_2=\frac{l_2(L-F_1)}{L-F_1+l_2}.

После подстановки в (6) получим следующее квадратное уравнение для определения $F_1$ :

F_1^2(L+l_1-l_2)-F_1(L^2+2l_1L)+L^2l_1=0.

Найдём решение этого уравнения:

(F_1)_{1,2}=\frac{L^2+2l_1L\pm L\sqrt{L^2+4l_1l_2}}{2(L+l_1-l_2)}=20{,}0\pm16{,}3\ \text{см}.

Аналогично, формула для $F_2$ :

(F_2)_{1,2}=\frac{L^2+2l_2L\pm L\sqrt{L^2+4l_1l_2}}{2(L+l_2-l_1)}=16{,}0\pm9{,}8\ \text{см}.

Оба решения возможны. В одном случае обе линзы «длиннофокусные»: $F_1=36{,}3\ \text{см}$ , $F_2=25{,}8\ \text{см}$ ( $F_1,F_2>L$ ), а в другом — наоборот, «короткофокусные»: $F_1=3{,}7\ \text{см}$ , $F_2=6{,}2\ \text{см}$ ( $F_1,F_2<L$ ).

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Записана формула линзы применительно к первому эксперименту	2
Записана формула линзы применительно ко второму эксперименту	2
Получено квадратное уравнение	3
Определены «короткофокусные» решения	1
Определены «длиннофокусные» решения	2

Оригинал в Архива: finalT09.pdf