ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5 (10 кл.). 10 класс — Потерянные оси

1. Будем отсчитывать разность давлений $\Delta p=p-p_3$ от точки 3 и объёмов $\Delta V=V-V_1$ от точки 1. Тогда уравнение изотермы запишется в виде:

Тогда, рассмотрев три точки на изотерме (например, точки 1, 3 и одну в середине графика), можно составить систему уравнений и выразить $p_3$ и $V_1$.

Можно найти $p_3$ и $V_1$ более точным способом. Заметим, что $p_1-p_3$ численно в клетках равно $V_3-V_1$, значит, в этом масштабе график изотермы симметричен относительно перестановки $p\leftrightarrow V$, и, следовательно, $p_3$ численно равно $V_1$ и равно некоторому числу $a$. Таким образом, численно справедливо уравнение $\Delta p\Delta V+a(\Delta p+\Delta V)+a^2=\mathrm{const}$. Если отметить несколько точек на графике и построить $y=\Delta p\Delta V$ от $x=\Delta p+\Delta V$, то графиком $y(x)$ будет прямая с коэффициентом наклона $k=-a$.

Так найдём $p_3\approx1\ \text{атм}$, а $V_1\approx1\ \text{л}$, следовательно, максимальное давление $p_{\max}=p_1\approx32\ \text{атм}$. Восстановленные оси показаны на рисунке 23.

2. Теперь можно определить максимальную и минимальную температуры в цикле:

3. Работу газа на изотерме можно определить как площадь под графиком изотермы со знаком минус: $A_T\approx-11{,}2\ \text{кДж}$.

4. КПД цикла найдём как отношение работы $A$ за цикл к подведённой теплоте $Q_+=Q_{12}=A_{12}+\nu C_V(T_2-T_1)=5A_{12}/2$. Определим по графику работы $A\approx13{,}0\ \text{кДж}$ и $A_{12}\approx9{,}7\ \text{кДж}$. Окончательно получим: