Съдържание

ВсОШ 2010, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5 (11 кл.). 11 класс — Униполярный индуктор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Белгород, 2010 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Ерофеев И.	Козел С.	Фольклор	Козел С.	Слободянин В.
10	Козел С.	Малеев А.	Паверман В.	Сметнёв Д.	Шеронов А.
11	Плис В.	Александров Д.	Козел С.	Матвеев Х., Проскурин М.	Гуденко А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 13 апреля 2010 г. в 04:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Неполнота архивного источника

В архивном PDF отсутствуют печатные страницы 22–23. Условия всех 15 задач сохранены полностью. Решение задачи 5 для 10 класса обрывается перед окончанием и критериями оценивания; начало решения задачи 1 для 11 класса, включая рисунок 24, также отсутствует. Доступные фрагменты решений приведены без восстановления недостающего текста.

Условие

Униполярный индуктор представляет собой быстро вращающийся постоянный магнит в форме диска. Диск выполнен из магнитного сплава, способного создавать сильное магнитное поле, и покрыт тонким проводящим слоем никеля.

При вращении диска между осью вращения и боковой поверхностью возникает разность потенциалов, которую можно измерить с помощью неподвижного вольтметра (рис. 15). Если же к оси вращения и боковой поверхности подсоединить батарейку, то магнит начнёт быстро вращаться, превратившись в электродвигатель. Точно так же, если быстро вращать вал обычного электромотора, он превращается в генератор, и наоборот, если на электрический генератор подать напряжение, он превращается в электромотор.

На рисунке 16 показана схема такого реально работающего униполярного электродвигателя, ротором которого является сильный постоянный магнит в форме диска радиуса $r_0=2\ \text{см}$ , насаженного на ось. При подключении с помощью скользящих контактов батарейки с ЭДС $\mathcal E=1{,}5\ \text{В}$ диск начинает быстро вращаться.

Примечание. Для упрощения расчётов считайте, что в проводящем никелевом слое вектор индукции $\vec B$ магнитного поля перпендикулярен поверхности диска (рис. 15). Также для упрощения считайте, что ток в проводящем слое течёт вдоль радиуса.

1 Что покажет неподвижный вольтметр на рисунке 15 при частоте вращения диска $\nu=3000\ \text{об/мин}$ ? Какова полярность этой разности потенциалов? Укажите полярность на рисунке 15.

2 Пренебрегая трением, оцените предельную частоту вращения (об/мин) намагниченного диска (ротора униполярного двигателя на рисунке 16). Укажите направление вращения ротора при заданной на рисунке 16 полярности батарейки и направлении вектора $\vec B$ . Модуль вектора $\vec B$ постоянен и равен $B=1\ \text{Тл}$ .

Решение

На свободные электроны в проводящем слое при вращении диска действует сила Лоренца $F_\text{л}=evB$ , где $e<0$ — заряд электрона, $v=\omega r$ — линейная скорость. При указанных на рисунке 27 направлениях магнитного поля и вращения диска сила Лоренца направлена к центру диска. В результате возникает перераспределение зарядов: электроны будут перемещаться к центру, а на боковой поверхности образуется нескомпенсированный положительный заряд. Это приведёт к возникновению электрического поля $\vec E$ , направленного по радиусу к центру. Равновесие наступит, когда в каждой точке проводящего слоя кулоновская сила скомпенсирует силу Лоренца:

eE=evB=e\omega rB,\quad\text{то есть}\quad E=vB.

Разность потенциалов $\Delta\varphi$ между боковой поверхностью диска ( $r=r_0$ ) и его центром ( $r=0$ ) равна

\Delta\varphi=\int_0^r E\,dr=\frac12\omega r_0^2B.

Эта разность потенциалов и будет измерена вольтметром:

V=\Delta\varphi=\frac12\omega r_0^2B=\pi\nu r_0^2B=62{,}8\ \text{мВ},

причём минус — в центре диска, а плюс — на боковой поверхности.

Диск разгоняется моментом силы Ампера, возникающей в результате взаимодействия радиально направленного тока с магнитным полем диска. В соответствии с правилом левой руки диск будет вращаться так же, как и на рисунке 27 — против часовой стрелки, если смотреть сверху. Разгон диска прекратится, когда сила тока станет равной нулю, то есть когда разность потенциалов $\Delta\varphi$ , обусловленная действием силы Лоренца (смотри пункт 1), станет равной ЭДС батарейки:

\Delta\varphi=\mathcal E,\quad\text{или}\quad\pi\nu_\text{пред}r_0^2B=\mathcal E,

откуда $\nu_\text{пред}=\mathcal E/(\pi r_0^2B)=7{,}2\cdot10^4\ \text{об/мин}$ .

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Объяснена причина возникновения разности потенциалов	1
Записано условие равновесия	2
Определена $\Delta\varphi$	2
Получено численное значение для $V$	1
Объяснена причина вращения диска	1
Записано условие прекращения разгона диска	2
Получено численное значение для $\nu_\text{пред}$	1

Оригинал в Архива: finalT10.pdf