Съдържание

ВсОШ 2010, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (10 кл.). 10 класс — Скольжение груза по доске

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Белгород, 2010 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Ерофеев И.	Козел С.	Фольклор	Козел С.	Слободянин В.
10	Козел С.	Малеев А.	Паверман В.	Сметнёв Д.	Шеронов А.
11	Плис В.	Александров Д.	Козел С.	Матвеев Х., Проскурин М.	Гуденко А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 13 апреля 2010 г. в 04:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Неполнота архивного источника

В архивном PDF отсутствуют печатные страницы 22–23. Условия всех 15 задач сохранены полностью. Решение задачи 5 для 10 класса обрывается перед окончанием и критериями оценивания; начало решения задачи 1 для 11 класса, включая рисунок 24, также отсутствует. Доступные фрагменты решений приведены без восстановления недостающего текста.

Условие

На длинном гладком горизонтальном столе лежит доска массой $m_2$ и длины $L$ , на левом конце которой находится груз массы $m_1$ . Коэффициент трения между грузом и доской равен $\mu$ . Трение между доской и столом отсутствует. Груз $m_1$ связан с грузом $M$ длинной невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис. 5). Система начинает двигаться из состояния покоя.

Считайте, что $m_1=M=1\ \text{кг}$ , $m_2=2\ \text{кг}$ . Длину доски $L$ примите равной 1 м. Известно, что длина груза много меньше $L$ . Ускорение свободного падения примите равным $g=10\ \text{м/с}^2$ .

1 При каких значениях коэффициента трения $\mu$ груз $m_1$ и доска $m_2$ будут двигаться как единое целое (без проскальзывания)?

2 Найдите минимальное значение коэффициента трения $\mu_{\min}$ , при котором возможно движение без проскальзывания.

3 Пусть $\mu=\mu_{\min}/2$ . В этом случае груз $m_1$ и доска $m_2$ будут двигаться с разными ускорениями. Через какое время $t$ после начала движения груз соскользнёт с доски?

Решение

Обозначим силу натяжения нити через $T$ . Запишем второй закон Ньютона для всех трёх тел:

m_1a_1=T-F_\text{тр},\qquad m_2a_2=F_\text{тр},\qquad Ma_1=Mg-T.

Здесь $a_1$ и $a_2$ — ускорения груза и доски соответственно. Из этих уравнений получим:

a_1=\frac{Mg-F_\text{тр}}{m_1+M},\qquad a_2=\frac{F_\text{тр}}{m_2}.

При движении без проскальзывания $a_1=a_2$ :

\frac{Mg-F_\text{тр}}{m_1+M}=\frac{F_\text{тр}}{m_2},\quad\text{откуда}\quad F_\text{тр}=\frac{Mm_2}{m_1+m_2+M}g.

При этом сила трения по модулю не превышает значения $\mu m_1g$ . Следовательно, для движения без проскальзывания необходимо:

F_\text{тр}=\frac{Mm_2}{m_1+m_2+M}g\le\mu m_1g,\quad\text{откуда}\quad\mu_{\min}=\frac{Mm_2}{m_1(m_1+m_2+M)}.

Подставляя числовые значения масс всех грузов, получим:

\mu_{\min}=1/2.

При $\mu\ge\mu_{\min}$ скольжения нет, а при $\mu<\mu_{\min}$ груз будет скользить по доске.

Пусть теперь $\mu=\mu_{\min}/2=1/4$ , тогда:

a_1=\frac{M-m_1\mu}{m_1+M}g,\qquad a_2=\frac{m_1}{m_2}\mu g.

Относительное ускорение:

a_\text{отн}=a_1-a_2=g\left(\frac{M-m_1\mu}{m_1+M}-\frac{m_1}{m_2}\mu\right)=g/4.

Время соскальзывания находим из формулы $L=a_\text{отн}t^2/2$ :

t=\sqrt{\frac{2L}{a_\text{отн}}}=0{,}9\ \text{с}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Записан второй закон Ньютона для каждого из трёх тел	2
Найдены ускорения груза и доски	1
Определено, при каких $F_\text{тр}$ груз проскальзывает	2
Указано значение силы трения при проскальзывании	1
Определён $\mu_{\min}$	1
Найдены ускорения доски и груза при $\mu=\mu_{\min}/4$	1
Найдено относительное ускорение	1
Найдено время соскальзывания	1

Оригинал в Архива: finalT10.pdf