Съдържание

ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 11.1. Вязкость масла

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур. 9, 10 и 11 классы

Условие

Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, текущую вдоль длинной узкой цилиндрической трубки. Если при движении слои жидкости не перемешиваются (рис. 5), а малые выделенные объемы жидкости движутся прямолинейно, то данное течение жидкости называют ламинарным.

Ламинарное течение в трубке: две сплошные горизонтальные стенки, между ними параллельные штриховые линии слоёв и горизонтальные стрелки разной длины (длиннее в середине). — Рис. 5

Для ламинарного течения известны уравнения, достаточно точно описывающие движение жидкости. При превышении скоростью некоторой критической величины течение становится неустойчивым. В среде образуются вихри, а линии тока становятся нестационарными (рис. 6). Такое движение называют турбулентным. Его удаётся описывать только приближённо.

Турбулентное течение в трубке: между двумя стенками изогнутые штриховые линии тока со стрелками и вихри в центре. — Рис. 6

В данном эксперименте вам предлагается исследовать течение жидкости под действием различных давлений, обработать результаты эксперимента в предположении, что течение ламинарно, и в конце выяснить, верно ли данное предположение.

1. Предложите способ, с помощью которого можно снять зависимость расхода $Q$ масла (объём жидкости, протекающему через сечение трубки в единицу времени) через иглу шприца от разности давлений $\Delta p = p_2 - p_1$ на концах иглы.

Подсказка. При заполнении шприца маслом оставьте внутри него некоторое количество воздуха.

2. Используя предложенный вами способ, снимите зависимость $Q(\Delta p)$ при нескольких значениях разности давлений (не менее 4 точек). Старайтесь при этом выбирать давления так, чтобы диапазон разности давлений был максимальным из доступных, а точки в этом диапазоне были распределены достаточно равномерно.

Если течение окажется ламинарным, то его можно будет описать с помощью формулы Пуазейля:

Q = \frac{\pi r^4}{8\,\eta L}\Delta p, \qquad (1)

где $\eta$ — вязкость жидкости, $L$ — длина иглы шприца, $r$ — внутренний радиус иглы.

3. По полученным в предыдущем пункте данным постройте график зависимости расхода от разности давлений. Используя (1), найдите вязкость масла.

Для выяснения, является ли течение жидкости ламинарным, используют так называемое число Рейнольдса Re. По определению:

\mathrm{Re} = \frac{\rho\, v r}{\eta}, \qquad (2)

где $\rho$ — плотность жидкости, $v$ — средняя скорость её течения.

В случае движения жидкости по цилиндрической трубе критическое значение числа Рейнольдса, при котором течение уже нельзя считать ламинарным, равно $\mathrm{Re}_{\text{кр}} = 1200$ .

4. Вычислите число Рейнольдса для вашего эксперимента. Сравнив его с $\mathrm{Re}_{\text{кр}}$ , определите характер течения жидкости в игле шприца.

На концах трубки (там, где жидкость только входит в цилиндрическую полость иглы) течение весьма неоднородно. Расстояние от края иглы, на котором оно устанавливается и становится ламинарным, называется $l_{\text{уст}}$ .

Формула (1) выведена для ламинарного течения по длинной трубе. Если оказывается, что $l_{\text{уст}} \ll L$ , где $L$ — длина иглы шприца, то краевыми неоднородностями можно пренебречь, и использование соотношения (1) оправдано.

5. Для иглы $l_{\text{уст}} = 0{,}2r\ \mathrm{Re}$ . Определите $l_{\text{уст}}$ для вашего эксперимента и сравните его с $L$ .

6. Теперь, используя все полученные результаты, сделайте вывод о том, верно ли предположение, что течение масла ламинарно.

Оборудование. Шприц (внутренний диаметр иглы $d = 0{,}6$ мм), сосуд с маслом, секундомер, бумажные салфетки (для поддержания рабочего места в чистоте), лист миллиметровой бумаги, пластиковая бутылка.

ВНИМАНИЕ! Аккуратно обращайтесь со шприцем, чтобы не пораниться острой иглой.

Рекомендации организаторам.

В данном эксперименте необходимо внимательно подойти к выбору шприца и иглы. Рекомендуется использовать шприц объёмом $20 - 25$ мл с ценой деления не более 1 мл.
Внутренний диаметр иглы должен быть 0,6 мм, длина иглы $> 30$ мм.
Перед экспериментом желательно смазать поршень шприца маслом, чтобы минимизировать трение (иначе устают руки экспериментатора).
Пластиковая бутылка объёма 0,5 л со стандартным горлышком.
Масло удобно выдавать в одноразовом пластиковом стаканчике ёмкостью 0,1 л.
Перед началом тура напомните участникам о соблюдении правил техники безопасности при работе с колющими предметами.

Отговори

Решение

Для того, чтобы поддерживать постоянную разность давлений, предлагается следующий способ. Шприц заполняется воздухом на $V_{\text{возд.}} = 20$ мл (разметка на шприце может быть на меньшие объёмы, но с помощью миллиметровой бумаги вы можете сделать шкалу с большим пределом измерения). Со шприца снимается игла, набирается $V_{\text{масла}} = 4$ мл масла и игла надевается обратно, при этом шприц всё время должен находиться в вертикальном положении (чтобы масло не растеклось по стенкам, и потом не пришлось бы долго ждать, пока оно стечёт обратно).

При сжатии воздуха внутри шприца на $\Delta V_{\text{возд.}}$ воздух слегка нагревается, и давление масла увеличивается от $p_0$ до $p$ , где $p_0$ — атмосферное давление. Можно считать, что время установления комнатной температуры воздуха в шприце намного меньше времени процесса измерений, и поэтому выполняется закон Бойля–Мариотта:

p_0 V_{\text{возд.}} = p(V_{\text{возд.}} - \Delta V_{\text{возд.}}),

откуда

p = \frac{p_0 V_{\text{возд.}}}{(V_{\text{возд.}} - \Delta V_{\text{возд.}})}.

Масло вытекает медленно (около 2–4 минут). Всё это время необходимо пододвигать поршень, чтобы объём воздуха, находящегося в шприце, не изменялся. При этом разность давлений на концах иглы:

\Delta p = p - p_0 = \frac{p_0 \Delta V_{\text{возд.}}}{(V_{\text{возд.}} - \Delta V_{\text{возд.}})}.

Продолжительность вытекания подобрана большой, что позволяет уменьшить ошибку, связанную с определением времени (около 5 с). При временах вытекания масла 200 с эта ошибка несущественна. Данный метод позволяет определить время вытекания масла при давлениях порядка 1 атм в широком диапазоне $0{,}2p_0 - 4p_0$ .

Расход рассчитывается по формуле $Q = \Delta V_{\text{масла}}/\tau$ , где $\tau$ — время вытекания масла.

Из графика $Q(\Delta p)$ видно, что экспериментальные точки ложатся на прямую, а коэффициент наклона $k = \dfrac{\Delta Q}{\Delta p}$ . Тогда вязкость высчитывается по итоговой формуле:

\eta = \frac{\pi r^4}{8\,kL} \approx 0{,}3\ \text{Па} \cdot \text{с}.

Для данной ситуации $\mathrm{Re} < 1 \ll \mathrm{Re}_{\text{кр}}$ и $l_{\text{уст.}} = 0{,}2r\ \mathrm{Re} \ll L$ . Таким образом, наше предположение о ламинарности течения было верным.

Примерные критерии оценивания

Критерий	Баллы
Описан метод измерения расхода, даны основные расчётные формулы	3
Измерения: $\geqslant 4$ точек	3
Измерения: 2–3 точки	2
Измерения: 1 точка	1
Построение графика: $\geqslant 4$ точек	3
Построение графика: 2–3 точки	2
Ответ для вязкости	2
Верная оценка погрешности	1
Получено Re и сравнено с $\mathrm{Re}_{\text{кр}}$	1
Получено $l_{\text{уст}}$ и сравнено с $L$	1
Вывод о возможности использования предположений	1

Оригинал в Архива: region10E.pdf