Съдържание

ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 9.1. · Плот и катер

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 9, 10 и 11 классы. Методическое пособие. МФТИ, 2009/2010 уч.г.

Условие

От пристани «Дубки» экспериментатор Глюк отправился в путешествие по реке на плоту. Ровно через час он причалил к пристани «Грибки», где обнаружил, что забыл свой рюкзак на пристани в «Дубках».

К счастью, Глюк увидел на берегу своего друга — теоретика Бага, у которого была моторная лодка. На ней друзья поплыли обратно, забрали рюкзак и вернулись в «Грибки».

Сколько времени моторная лодка плыла против течения, если всё плавание заняло 32 минуты?

Мотор лодки в течение всего плавания работал на полную мощность, а время, которое потребовалось на подбор рюкзака, пренебрежимо мало.

Отговори

Решение

Пусть скорость течения реки $u$ . Тогда расстояние от «Дубков» до «Грибков» равно $L = ut_0$ , где $t_0$ — время плавания на плоте.

Пусть скорость моторной лодки относительно воды равна $v$ . Тогда время $t_1$ , затраченное на движение от «Грибков» до «Дубков», равно:

t_1 = \frac{L}{v - u} = t_0\frac{u}{v - u}.

На обратный путь потребовалось время $t_2 = \dfrac{L}{v + u} = t_0\dfrac{u}{v + u}$ .

Всё время плавания на лодке оказалось равным $t_{12} = t_1 + t_2 = t_0\dfrac{2vu}{v^2 - u^2}$ .

Выразим скорость моторной лодки через скорость течения реки, решив квадратное уравнение относительно $v$ :

v^2 - 2\frac{t_0}{t_{12}}uv - u^2 = 0, \qquad \text{отсюда} \qquad v = u\cdot\left[\left(\frac{t_0}{t_{12}}\right) + \sqrt{1 + \left(\frac{t_0}{t_{12}}\right)^2}\,\right].

Искомое время $t_1 = t_0\dfrac{u}{v - u} = \dfrac{t_0t_{12}}{t_0 - t_{12} + \sqrt{t_{12}^2 + t_0^2}} = 20$ минут.

Примерные критерии оценивания

Записано выражение для $t_1$ — 1
Записано выражение для $t_2$ — 1
Записано выражение для $t_{12}$ — 1
Составлено квадратное уравнение — 2
Выбран правильный знак для $v$ — 1
Получена зависимость $v(u)$ — 2
Найдено время $t_1$ — 2

Оригинал в Архива: region10T.pdf