Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2011, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 11. Стержень и вода

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Теоретический тур

Методическое пособие

МФТИ, 2009/2010 уч.г.

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

Подписано в печать 29 ноября 2010 г. в 17:42.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Авторы задач

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Кармазин С.	1. Кармазин С.	1. Шведов О.
2. Кудряшова Н.	2. Фольклор	2. Александров Д.
3. Слободянин В.	3. Антоненко Д.	3. Слободянин В.
4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.	4. Фольклор
5. Фольклор	5. Фольклор	5. Осин М.

Условие

Тонкий стержень постоянного сечения состоит из двух частей. Первая из них имеет длину $l_1 = 10$ см и плотность $\rho_1 = 1{,}5$ г/см $^3$ , вторая — плотность $\rho_2 = 0{,}5$ г/см $^3$ (рис. 14). При какой длине $l_2$ второй части стержня он будет плавать в воде (плотность $\rho_0 = 1$ г/см $^3$ ) в вертикальном положении?

Отговори

Решение

Пусть $S$ — площадь сечения стержня. Вес воды в объёме стержня:

P = \rho_0(l_1 + l_2)gS.

Вес стержня:

P_0 = (\rho_1 l_1 + \rho_2 l_2)gS.

Стержень не будет тонуть, если $P > P_0$ , откуда находим:

l_2 > l_1 = 10\ \text{см}.

Наклонённый стержень в воде с нижним концом O; на стержне отмечены центр тяжести C и геометрический центр A погружённой части; сила Архимеда F_A направлена вверх, сила тяжести F_Т — вниз. — Рис. 28

Для того, чтобы стержень плавал вертикально, необходимо, чтобы при малом наклоне стержня возникал вращающий момент, стремящийся вернуть его в вертикальное положение. Это возможно, если точка приложения силы Архимеда $\vec{F}_{\text{А}}$ находится выше точки приложения силы тяжести $\vec{F}_{\text{Т}}$ , то есть геометрический центр $A$ погружённой части расположен выше центра тяжести $C$ стержня (рис. 28). Это условие можно представить в виде:

OA > OC. \qquad (14)

Обозначим за $L$ глубину подводной части стержня. Тогда:

L = \frac{\rho_1 l_1 + \rho_2 l_2}{\rho_0} = \frac{3}{2}l_1 + \frac{1}{2}l_2,

OA = \frac{L}{2} = \frac{1}{4}(3l_1 + l_2).

По определению расстояние от точки $O$ до центра масс равно:

OC = \frac{\rho_1 l_1(l_1/2) + \rho_2 l_2(l_1 + l_2/2)}{\rho_1 l_1 + \rho_2 l_2} = \frac{3l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2}{2(3l_1 + l_2)}.

В этих обозначениях условие (14) примет вид:

(3l_1 + l_2)^2 > 2(3l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2),

3l_1^2 + 2l_1l_2 - l_2^2 < 0.

С учётом того, что $l_2 > 0$ , получаем ограничение сверху:

l_2 < 3l_1 = 30\ \text{см}.

Окончательный ответ:

10\ \text{см} < l_2 < 30\ \text{см}.

Критерии оценивания

Найдена минимальная длина $l_2$ , при которой стержень не тонет … 3

Записано условие устойчивого плавания стержня … 1

Получено выражение для расстояния $OA$ … 2

Найдено расстояние от точки $O$ до центра масс … 2

Решено неравенство относительно $l_2$ … 1

Приведён окончательный ответ … 1

Вертикальный стержень в воде (штрихи обозначают воду): нижняя заштрихованная часть длиной l1, верхняя светлая часть длиной l2 выступает над поверхностью воды; размеры показаны стрелками. — Рис. 14

Оригинал в Архива: region11T.pdf