Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 12. Заряженная частица в соленоиде

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Сечение соленоида — окружность радиуса r с центром O, ток I по часовой стрелке (стрелки на окружности); частица (q, m) со скоростью v входит снизу в точке A вдоль радиуса; точка выхода C, радиус OC под углом 60° к вертикали. — Рис. 12

На рисунке 12 изображено сечение длинной прямой катушки (соленоида), радиус витков которой $r = 10$ см. Число витков катушки на 1 метр длины $n = 500$ м $^{-1}$ . По виткам катушки протекает постоянный ток $I = 0{,}1\ A$ (по часовой стрелке).

Через зазор между витками в точке $A$ в катушку влетает заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов $U = 10^3$ В. Скорость частицы в точке $A$ направлена вдоль радиуса соленоида. Частица движется внутри соленоида в плоскости, перпендикулярной его оси, и вылетает из соленоида в точке $C$ , расположенной под углом $\alpha = 60^{\circ}$ к первоначальному направлению. Определите:

1. знак заряда частицы;

2. радиус кривизны траектории частицы внутри соленоида;

3. удельный заряд частицы (то есть отношение модуля заряда частицы к её массе).

Магнитная постоянная $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}$ (единиц СИ).

Отговори

Решение

Магнитная индукция $B$ в соленоиде определяется соотношением

B = \mu_0I\cdot n = 4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 1\cdot 500 = 6{,}28\cdot 10^{-4}\ \text{Тл}.

Направление вектора индукции можно найти по правилу буравчика. В данном случае вектор $\vec{B}$ направлен перпендикулярно плоскости рисунка от читателя.

Окружность соленоида радиуса r с центром O, ток I, вектор B «от читателя» (⊗); дуга траектории частицы от A до C с центром кривизны на пересечении касательных в A и C, радиус кривизны R, угол α; показаны скорость v и сила Лоренца F_л. — Рис. 23

На движущуюся заряженную частицу в магнитном поле действует сила Лоренца, направление которой можно найти по правилу левой руки. Так как частица отклоняется вправо, её заряд $q < 0$ .

В однородном магнитном поле заряженная частица движется по дуге окружности (рис. 23). При этом модуль вектора скорости остаётся неизменным:

\frac{mv^2}{R} = |q|Bv,\qquad \text{или}\qquad R = R_{\text{кривизны}} = \frac{mv}{|q|B}.

Радиус кривизны можно определить из геометрических соображений. Точки $A$ и $C$ находятся на пересечении двух окружностей радиусов $r$ и $R$ . Из соображений симметрии следует, что в точке $C$ , также как и в точке $A$ , вектор скорости частицы будет направлен вдоль радиуса витков катушки. Отсюда следует, что центр окружности, по которой движется частица (центр кривизны траектории), лежит на пересечении касательных в точках $A$ и $C$ .

Из рисунка следует:

R = r\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt{3}r = 17{,}3\ \text{см}.

Модуль скорости частицы $v$ определим из закона сохранения энергии:

\frac{mv^2}{2} = |q|U;\qquad v^2 = \frac{2|q|U}{m} = \left(\frac{|q|}{m}\right)^2R^2B^2.

Отсюда:

\frac{|q|}{m} = \frac{2U}{R^2B^2} = \frac{2\cdot 10^3}{(17{,}3)^2\cdot 10^{-4}\cdot(6{,}28)^2\cdot 10^{-8}} \approx 1{,}7\cdot 10^{11}\ \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}.

Примечание: Для электрона $\frac{e}{m} = 1{,}76\cdot 10^{11}\ \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$ .

Критерии оценивания

Найдена магнитная индукция $B$ в соленоиде … 1

Указано, какой знак заряда имеет частица … 2

Записано уравнение Ньютона для вращательного движения … 2

Определён радиус кривизны траектории частицы внутри соленоида … 1

Записан закон сохранения энергии для процесса ускорения электрона … 2

Найден удельный заряд частицы … 2

Оригинал в Архива: finalT11.pdf