Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 13. Устойчивость поршня

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Узкий вертикальный цилиндр длиной L, сверху соединённый с широким плоским цилиндром, заполненным слоем ртути толщиной Δh; в узком цилиндре на глубине h от верхнего края — тёмный поршень. — Рис. 13

Закрытый снизу тонкостенный цилиндр длиной $L = 1{,}50$ м установлен вертикально. В верхней части он соединён с другим цилиндром, значительно большего диаметра (рис. 13). В нижнем цилиндре на расстоянии $h_1 = 380$ мм от верхнего края расположен тонкий лёгкий поршень. Над поршнем находится слой ртути высотой $h + \Delta h$ , где $\Delta h \ll h$ , ниже поршня — гелий под давлением $p_1 = p_0 + \rho_{\text{р}}gh_1$ , где $p_0 = 760$ мм.рт.ст. — атмосферное давление, $\rho_{\text{р}} = 13{,}6$ г/см $^3$ — плотность ртути. Из-за большой разницы диаметров цилиндров изменением $\Delta h$ можно пренебречь при смещениях поршня по всей длине нижнего цилиндра.

Из условия задачи следует, что поршень находится в равновесии. Является ли это положение равновесия устойчивым? Существуют ли другие положения равновесия? Если есть, то при каких расстояниях $h_i$ от поршня до верхнего края? Являются ли эти положения равновесия устойчивыми? Можно считать, что при малых изменениях объёма под поршнем температура гелия остаётся постоянной.

Отговори

Решение

Пусть площадь сечения нижнего цилиндра — $S$ . Тогда объём, занимаемый гелием, равен $V = (L - h)\,S$ . Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

pV = \nu RT \Rightarrow p\,(L - h)\,S = \nu RT. \qquad (29)

Так как температура $T = const$ и площадь $S = const$ , то $p\,(L - h) = const$ . Отсюда следует, что другие положения равновесия можно найти из уравнения:

p_1\,(L - h_1) = p_2\,(L - h_2),

где $p_1 = p_0 + \rho_{\text{р}}gh_1$ , а $p_2 = p_0 + \rho_{\text{р}}gh_2$ .

(p_0 + \rho_{\text{р}}gh_1)\,(L - h_1) = (p_0 + \rho_{\text{р}}gh_2)\,(L - h_2). \qquad (30)

Решая это квадратное уравнение, найдём $h_2 = 360$ мм.

Исследуем положения равновесия на устойчивость. Для этого сравним производные давления под поршнем ( $p_{\text{снизу}}$ ) и над поршнем ( $p_{\text{сверху}}$ ) по $h$ . Устойчивое равновесие будет наблюдаться, если:

\frac{dp_{\text{снизу}}}{dh} > \frac{dp_{\text{сверху}}}{dh}. \qquad (31)

$p_{\text{сверху}} = p_0 + \rho_{\text{р}}gh$ , следовательно: $\frac{dp_{\text{сверху}}}{dh} = \rho_{\text{р}}g$ .

$p_{\text{снизу}}\,(L - h) = const$ , следовательно: $\frac{dp_{\text{снизу}}}{dh}(L - h) - p_{\text{снизу}} = 0$ .

Следовательно:

\frac{dp_{\text{снизу}}}{dh} = \frac{p_{\text{снизу}}}{(L - h)}.

Подставим полученные производные в формулу (31):

\frac{p_{\text{снизу}}}{(L - h)} > \rho_{\text{р}}g.

\frac{p_0 + \rho_{\text{р}}gh}{(L - h)} > \rho_{\text{р}}g. \qquad (32)

Тогда устойчивое равновесие будет наблюдаться при:

L < \frac{p_0}{\rho_{\text{р}}g} + 2h. \qquad (33)

Для $h_1 = 380$ мм получаем: $L < 1.52$ м, то есть равновесие устойчивое, а для $h_2 = 360$ мм — $L < 1.48$ м, то есть равновесие неустойчивое.

Критерии оценивания

Получена связь между давлением под поршнем и высотой $h$ … 2

Найдено второе положение равновесия $h_2$ … 2

Получен критерий устойчивости положения равновесия (формула (5)) … 4

Указана устойчивость верхнего положения равновесия … 1

Указана устойчивость нижнего положения равновесия … 1

Оригинал в Архива: finalT11.pdf