Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 14. Конденсатор с утечкой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Плоский конденсатор ёмкостью $C_0$ заполнен слабопроводящей слоистой средой с $\varepsilon = 1$ , удельное сопротивление которой зависит от расстояния $x$ до одной из пластин по закону $\rho = \rho_0\left(1 + \frac{2x}{d}\right)$ , где $d$ — расстояние между пластинами конденсатора. Конденсатор подключен к батарее с напряжением $U_0$ (рис. 14).

Батарея U0 (полюса − сверху, + снизу) подключена к плоскому конденсатору, заполненному заштрихованной средой; справа ось x с отметками 0 у нижней пластины и d у верхней. — Рис. 14

Найдите:

1. силу тока, протекающего через конденсатор;

2. заряды нижней ( $q_1$ ) и верхней ( $q_2$ ) пластин конденсатора;

3. заряд $q$ внутри конденсатора (т. е. в среде между пластинами);

4. электрическую энергию $W_{\text{э}}$ , запасённую в конденсаторе.

Отговори

Решение

В установившемся режиме сила тока $I = const$ при любом значении $x$ . Выделим в среде слой $x, dx$ . По закону Ома

dU = \rho\frac{dx}{S}I = I\rho_0\left(1 + \frac{2x}{d}\right)\frac{dx}{S}. \qquad (34)

Здесь $S$ — площадь пластин конденсатора.

U_0 = \int dU = \frac{2I\rho_0d}{S} = \frac{2I\rho_0\varepsilon_0}{C_0},\ \text{так как}\ C_0 = \frac{\varepsilon_0S}{d}.

Отсюда следует:

I = \frac{U_0C_0}{2\rho_0\varepsilon_0}. \qquad (35)

Определим напряжённость электрического поля вблизи нижней ( $E_1$ ) и верхней ( $E_2$ ) пластин. Из (34) и (35) следует:

E(x) = \frac{dU}{dx} = \frac{I\rho_0}{S}\left(1 + \frac{2x}{d}\right) = \frac{C_0U_0}{2\varepsilon_0S}\left(1 + \frac{2x}{d}\right). \qquad (36)

При $x = 0$ , $E_1 = \frac{C_0U_0}{2\varepsilon_0S}$ ,

q_1 = S\sigma_1 = SE_1\varepsilon_0 = \frac{C_0U_0}{2}. \qquad (37)

При $x = d$ , $E_2 = \frac{3C_0U_0}{2\varepsilon_0S}$ ,

q_2 = -S\sigma_2 = -SE_2\varepsilon_0 = -\frac{3C_0U_0}{2}. \qquad (38)

Полный заряд конденсатора, включающий заряды обеих пластин и заряд в среде между пластинами, равен нулю:

q_1 + q_2 + q = 0.

Из этого соотношения следует:

q = C_0U_0\,. \qquad (39)

Электрическую энергию, запасённую в конденсаторе, найдём через объёмную плотность энергии $w_{\text{э}} = \varepsilon_0E^2/2$ :

W_{\text{э}} = \int w_{\text{э}}dV = \int_0^d\frac{\varepsilon_0E^2(x)}{2}Sdx = \frac{C_0U_0^2}{8d}\int_0^d\left(1 + \frac{2x}{d}\right)^2dx = \frac{13}{24}C_0U_0^2.

Критерии оценивания

Записано выражение для падения напряжения $dU$ в слое толщиной $dx$ … 1

Записано выражение для полного напряжения на конденсаторе … 1

Записано выражение для силы тока … 1

Найдена зависимость напряжённости электрического поля от координаты $E(x)$ … 1

Выведено выражение для заряда нижней пластины … 1

Выведено выражение для заряда верхней пластины … 1

Найдено выражение для суммы зарядов … 1

Выведено выражение для заряда между обкладками конденсатора … 1

Получено выражение для энергии конденсатора через объёмную плотность энергии … 1

Определена величина энергии конденсатора … 1

Оригинал в Архива: finalT11.pdf