Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 15. Плоский световод

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Вблизи левого торца хорошо отполированной прозрачной пластины, показатель преломления которой $n$ , расположен точечный источник света $S$ (рис. 15). Толщина пластины $H = 1$ см, её длина $L = 100$ см. Свет от источника падает на левый торец пластины под всевозможными углами падения $(0 - 90^{\circ})$ . В глаз наблюдателя попадают как прямые лучи от источника, так и лучи, многократно испытавшие полное отражение на боковых гранях пластины.

1. Какое максимальное число отражений может испытать луч от источника, выходящий через правый торец пластины? Решите задачу для двух значений коэффициента преломления: $n_1 = 1{,}73$ , $n_2 = 1{,}3$ .

2. Укажите, в каком из этих двух случаев свет частично выходит из пластины через боковые грани.

Длинная прозрачная пластина толщиной H и длиной L; у левого торца точечный источник S; лучи идут прямо и с многократными отражениями от боковых граней к глазу наблюдателя у правого торца. — Рис. 15

Отговори

Решение

Рассмотрим преломление лучей от источника на левом торце пластинки (рис. 24). Максимальный угол $\beta_{max}$ преломления на левом торце соответствует углу падения $\alpha = 90^{\circ}$ :

\sin\beta_{max} = \frac{1}{n}\,.

Фрагмент пластины толщиной H: источник (звёздочка) у левого торца, преломлённый луч под углом β к нормали торца падает на нижнюю грань под углом φ и отражается; сверху отмечено расстояние Δl между отражениями. — Рис. 24

Минимальный угол падения на боковую грань

\varphi_{min} = 90^{\circ} - \beta_{max}.

Ход лучей в пластине будет зависеть от соотношения между $\varphi_{min}$ и $\varphi_{\text{пред}}$ (предельный угол полного отражения).

Случай 1 $\varphi_{min} \geqslant \varphi_{\text{пред}}$ , или $\sin\varphi_{min} \geqslant \sin\varphi_{\text{пред}} = \frac{1}{n}$ .

В этом случае все лучи, падающие на боковые грани пластины, будут испытывать полное отражение и, следовательно, ни один луч не выйдет из пластины.

\sin\varphi_{min} = \cos\beta_{max} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n} \geqslant \frac{1}{n} \Rightarrow \sqrt{n^2 - 1} \geqslant 1 \Rightarrow n \geqslant \sqrt{2}.

Минимальное расстояние $(\Delta l)$ между соседними отражениями лучей на противоположных гранях:

(\Delta l)_{min} = H\operatorname{tg}\varphi_{min} = H\frac{\cos\beta_{max}}{\sin\beta_{max}} = H\frac{1/n\sqrt{n^2 - 1}}{1/n} = H\sqrt{n^2 - 1}.

Максимальное число отражений $N_1 = (N_1)_{max}$ :

N_1 = \left[\frac{L}{(\Delta l)_{min}} + \frac{1}{2}\right] = \left[\frac{L}{H}\frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}} + \frac{1}{2}\right].

Слагаемое $1/2$ возникает из-за того, что перед первым отражением луч проходит вдоль трубы расстояние $\Delta l/2$ .

При $n = n_1 = 1{,}73$ $N_1 = 71$ .

Случай 2 $\varphi_{min} \leqslant \varphi_{\text{пред}}$ , или $\sin\varphi_{min} \leqslant \sin\varphi_{\text{пред}} = \frac{1}{n}$ ; $\frac{1}{n}\sqrt{n^2 - 1} \leqslant \frac{1}{n}$ .

В этом случае

(\Delta l)_{min} = H\operatorname{tg}\varphi_{\text{пред}} = \frac{H}{\sqrt{n^2 - 1}}.

Часть лучей, падающих на боковую грань под углами от $\varphi_{min}$ до $\varphi_{\text{пред}}$ , будут испытывать только частичное отражение и не дойдут до правого торца пластины.

Максимальное число отражений $N_2 = (N_2)_{max}$ :

N_2 = \left[\frac{L}{(\Delta l)_{min}} + \frac{1}{2}\right] = \left[\frac{L}{H}\sqrt{n^2 - 1} + \frac{1}{2}\right],

при $n = n_2 = 1{,}3$ , $N_2 = 100\cdot 0{,}83 = 83$ .

Критерии оценивания

Записано выражение для угла полного отражения … 1

Указано, в каком из случаев свет частично выходит из пластины через боковые грани … 2

Определено, какой луч отразится максимальное количество раз в первом случае … 1

Определено, какой луч отразится максимальное количество раз во втором случае … 1

Получена формула для $(\Delta l)_{min}$ в первом случае … 1

Получена формула для $(\Delta l)_{min}$ во втором случае … 1

Найден ответ для $N_{max}$ в первом случае … 2

Найден ответ для $N_{max}$ во втором случае … 1

Оригинал в Архива: finalT11.pdf