Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. Шайба и горка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Шайба (прямоугольник) со стрелкой скорости вправо на горизонтальной поверхности, справа от неё — плавная горка в форме холма. — Рис. 2

Небольшая шайба, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, наезжает на гладкую горку, покоящуюся на той же поверхности (рис. 2). После того, как шайба соскользнула с горки, оказалось, что шайба и горка движутся по гладкой горизонтальной поверхности с одинаковыми по модулю скоростями.

1. Определите, при каком соотношении масс шайбы и горки это возможно.

2. Найдите отношение максимальной потенциальной энергии, которая была у шайбы во время подъёма на горку, к начальной кинетической энергии шайбы.

Примечание. Во время подъёма и спуска шайба не отрывается от горки.

Отговори

Решение

Пусть $m$ и $M$ — массы шайбы и горки соответственно, $v_0$ — начальная скорость шайбы, $v_1$ и $v_2$ — проекции скоростей шайбы и горки на направление $\vec{v}_0$ после соскальзывания шайбы. Запишем законы сохранения импульса и энергии:

mv_0 = mv_1 + Mv_2, \qquad (1)

\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{Mv_2^2}{2}. \qquad (2)

Из этих уравнений следует:

v_1 = \frac{m - M}{m + M}v_0,\quad v_2 = \frac{2m}{m + M}v_0. \qquad (3)

Шайба и горка после соскальзывания шайбы движутся с одинаковыми по модулю скоростями в противоположных направлениях ( $v_2 = -v_1$ ), следовательно, должно выполняться условие: $(m - M) = -2m$ , откуда следует: $M = 3m$ .

Рассмотрим теперь момент времени, когда шайба достигла максимальной высоты $H$ . В этот момент скорости шайбы и горки одинаковы и равны $v$ . Запишем для этого момента законы сохранения импульса и энергии:

mv_0 = (m + M)v,

\frac{mv_0^2}{2} = mgH + \frac{m + M}{2}v^2. \qquad (4)

Решая совместно эти уравнения, получим:

\frac{mv_0^2}{2}\left(1 - \frac{m}{m + M}\right) = mgH, \qquad (5)

откуда

\frac{mgH}{mv_0^2/2} = \frac{M}{m + M} = \frac{3}{4}. \qquad (6)

Критерии оценивания

Записан закон сохранения импульса для момента после соскальзывания шайбы … 1

Записан закон сохранения энергии для момента после соскальзывания шайбы … 1

Найдены скорости горки и шайбы после соскальзывания шайбы с горки … 2

Записано соотношение между скоростями горки и шайбы после соскальзывания шайбы с горки … 1

Найдено соотношение масс шайбы и горки … 1

Записан закон сохранения импульса для момента максимального подъёма шайбы … 1

Записан закон сохранения энергии для момента максимального подъёма шайбы … 1

Найдено отношение максимальной потенциальной энергии шайбы к её начальной кинетической энергии … 2

Оригинал в Архива: finalT11.pdf