Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. Циклический теплообмен

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Имеется два теплоизолированных сосуда с водой. Теплоёмкость всей массы воды в первом сосуде $c_1$ , её температура $t_1$ . Теплоёмкость и температура воды во втором сосуде равны соответственно $c_2$ и $t_2$ . Во втором сосуде кроме воды находится брусок, теплоёмкость которого равна $c$ (рис. 3).

Брусок вынимают из второго сосуда и погружают в первый сосуд. После установления теплового равновесия брусок возвращают во второй сосуд.

Соотношение между теплоёмкостями: $c_1 : c_2 : c = 4 : 5 : 1$ . Пренебрегая теплообменом с окружающими телами, определите:

1. Какое минимальное количество $n$ таких циклов нужно сделать, чтобы разность температур $(t_2 - t_1)_n$ уменьшилась не менее, чем в $N = 25$ раз?

2. Какая температура воды установится в сосудах после очень большого числа циклов?

Два теплоизолированных сосуда с крышками, заполненных водой; в левом подпись c1, t1, в правом — c2, t2 и брусок c на дне; пунктирные стрелки показывают перенос бруска между сосудами. — Рис. 3

Отговори

Решение

Рассмотрим процессы теплообмена в первом цикле:

c_1t_1 + ct_2 = (c_1 + c)t_1',\quad \text{откуда}\quad t_1' = \frac{c_1t_1 + ct_2}{c_1 + c},

c_2t_2 + ct_1' = (c_2 + c)t_2',\quad \text{откуда}\quad t_2' = \frac{c_2t_2 + ct_1'}{c_2 + c}.

Здесь $t_1'$ и $t_2'$ — температуры воды в сосудах по окончании первого цикла.

\Delta t' = t_2' - t_1' = \frac{(c_2t_2 + ct_1') - (c_2 + c)t_1'}{c_2 + c} = \frac{c_2(t_2 - t_1')}{c_2 + c} =

= \frac{c_2[(c_1 + c)t_2 - (c_1t_1 + ct_2)]}{(c_1 + c)(c_2 + c)} = \frac{c_1c_2(t_2 - t_1)}{(c_1 + c)(c_2 + c)}.

\Delta t' = A(t_2 - t_1),\quad A = \frac{c_1c_2}{(c_1 + c)(c_2 + c)} < 1.

Таким образом, за каждый цикл разность температур в сосудах уменьшается в $1/A$ раз. При $c_1 : c_2 : c = 4 : 5 : 1$

A = \frac{2}{3},\quad \frac{1}{A} = \frac{3}{2},\quad \left(\frac{1}{A}\right)^n \geq N.

Подбором (на калькуляторе) легко получить: $n_{min} = 8$ .

После большого числа циклов температуры бруска и воды в сосудах будут одинаковыми. Установившуюся температуру можно найти из условия теплового баланса:

c_1t_1 + c_2t_2 + ct_2 = (c_1 + c_2 + c)t_0,\quad \text{откуда}\quad t_0 = \frac{2t_1 + 3t_2}{5}.

Критерии оценивания

Записано выражение для $t_1'$ … 1

Записано выражение для $t_2'$ … 1

Получено выражение, связывающее величину $\Delta t'$ с $\Delta t$ … 2

Найдено выражение, связывающее разность температур на $n$ − ом шаге с начальной разностью температур … 1

Определено минимальное количество шагов $n_{min}$ … 2

Записано уравнение теплового баланса для установившейся температуры … 2

Определена величина установившейся температуры … 1

Оригинал в Архива: finalT11.pdf