Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. Проволочный куб

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

В семь рёбер проволочного куба впаяны одинаковые резисторы с сопротивлением $R$ (рис. 4). Сопротивление проводников в остальных рёбрах пренебрежимо малы. Между клеммами $A$ и $B$ приложено напряжение $U$ .

Проволочный куб с вершинами 1–8; в семь рёбер впаяны резисторы; клемма A (+) у вершины 1, клемма B (−) у вершины 7, клемма C у вершины 2. — Рис. 4

1. Найдите силу тока $I_{AB}$ и сопротивление куба $R_{AB}$ между клеммами $A$ и $B$ .

2. Определите, в каком из рёбер куба сила тока максимальна и чему она равна.

3. Укажите, в каких резисторах выделяется максимальная тепловая мощность и чему она равна.

4. Пусть теперь напряжение $U$ приложено между клеммами $A$ и $C$ . Определите силу тока $I_{AC}$ и сопротивление $R_{AC}$ .

Отговори

Решение

Обратим внимание на то, что резистор $R_{48}$ замкнут накоротко. Следовательно, по нему ток не течёт, и его можно удалить из схемы без нарушения распределения токов и напряжений во всех других рёбрах. При этом схема сильно упрощается и её можно изобразить в виде комбинации параллельно и последовательно соединённых резисторов (рис. 17). Из приведённой эквивалентной схемы видно, что резисторы $R_{87}$ , $R_{56}$ и $R_{43}$ включены между узлами 1 и 7 параллельно. Также параллельно этим резисторам включена цепочка, состоящая из резисторов $R_{12}$ , $R_{26}$ и $R_{23}$ . Сопротивление этой цепочки $R'$ равно:

R' = R + \frac{R\cdot R}{R + R} = \frac{3}{2}R.

Таким образом, полное сопротивление $R_{AB}$ определим из соотношения:

\frac{1}{R_{AB}} = \frac{3}{R} + \frac{2}{3R} = \frac{11}{3R},

откуда следует, что

R_{AB} = \frac{3}{11}R;\quad I_{AB} = \frac{U}{R_{AB}} = \frac{11}{3}\frac{U}{R}.

Из эквивалентной схемы видно, что сила тока будет максимальна в ребре $1 - 5$ .

I_{max} = I_{15} = I_{587} + I_{56} = \frac{U}{R} + \frac{U}{R} = 2\frac{U}{R}.

Максимальная тепловая мощность будет выделяться на тех резисторах, в которых сила тока максимальна. Таких резисторов три: $R_{87}$ , $R_{56}$ и $R_{43}$ . В каждом из них сила тока составляет $I = \frac{U}{R}$ , а мощность $P_{max} = \frac{U^2}{R}$ .
При переносе контакта из узла 7 в узел 2 изменяются токи во всех резисторах. С помощью новой эквивалентной схемы можно получить:

R_{AC} = \frac{5}{11}R;\quad I_{AC} = \frac{11U}{5R}.

Критерии оценивания

Найдена сила тока $I_{AB}$ и сопротивление $R_{AB}$ между клеммами $A$ и $B$ … 3

Определено, в каком из ребёр куба сила тока максимальна и чему она равна … 3

Указано, в каких резисторах выделяется максимальная тепловая мощность и чему она равна … 1

Эквивалентная схема: между узлом 1 (+) и узлом 7 (−) параллельно включены резисторы от узлов 8, 5 и 4, а также цепочка через узел 2, разветвляющаяся на два резистора к узлам 6 и 3; обозначены узлы 1–8. — Рис. 17

Найдена сила тока $I_{AC}$ и сопротивление $R_{AC}$ … 3

Оригинал в Архива: finalT11.pdf