Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5. Составной цилиндр

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Цилиндр составлен из двух сочленённых отрезков труб и закреплён так, что его ось симметрии — вертикальна. Снизу к цилиндру прижата заслонка, которая полностью закрывает первую трубу. Чтобы удерживать заслонку в прижатом состоянии, к ней снизу нужно прикладывать силу $F \geqslant F_0$ . После того, как в цилиндр налили $V_0$ литров воды, минимальная сила, необходимая для удержания заслонки в прижатом состоянии, возросла в два раза. Когда в цилиндр налили ещё $V_0$ литров воды, минимальная сила возросла ещё в два раза. Наконец, когда в цилиндр добавили $V_0/3$ литров воды, минимальная сила возросла ещё на $F_0$ , а цилиндр оказался полностью заполнен.

1. Вычислите отношение $S_1 : S_2$ площадей нижней и верхней труб.

2. Вычислите отношение $L_1 : L_2$ длин нижней и верхней труб.

Отговори

Решение

(Графический способ) Допустим, что после того, как в составной цилиндр налили $V$ литров воды, высота столба воды оказалась равной $h$ . Минимальная сила, необходимая для удержания заслонки в прижатом состоянии, равна:

F = F_0 + (\rho gS_1)\cdot h,

где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения.

Зависимость $h(V)$ и $F(V)$ для каждого из отрезков труб линейна. Для первой (нижней) трубы справедливо соотношение:

\left(\frac{\Delta F}{\Delta V}\right)_1 = \rho g.

Для второй (верхней) трубы справедливо соотношение:

\left(\frac{\Delta F}{\Delta V}\right)_2 = \frac{\rho gS_1\Delta h}{S_2\Delta h} = \rho g\frac{S_1}{S_2}.

Построим график зависимости $F(V)$ (рис. 18):

Из него находим, что отношение угловых коэффициентов

\left(\frac{\Delta F}{\Delta V}\right)_2 : \left(\frac{\Delta F}{\Delta V}\right)_1 = \frac{S_1}{S_2} = 3,

а отношение

\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \frac{\rho gH_1}{\rho gH_2} = \frac{H_1}{H_2} = \frac{1{,}5}{2{,}5} = \frac{3}{5}.

(Аналитический способ) Рассмотрим ситуацию после наливания первой порции воды. По условию задачи

S_1h_1 = V_0. \qquad (7)

Воспользуемся законом Паскаля:

F_0 + \rho gh_1S_1 = 2F_0.

Отсюда:

F_0 = \rho gh_1S_1. \qquad (8)

Теперь рассмотрим ситуацию после наливания второй порции воды. Судя по изменению давления на заслонку, можно предположить, что вода полностью заполнила нижнюю трубу и частично – верхнюю:

H_1S_1 + h_2S_2 = 2V_0. \qquad (9)

Согласно закону Паскаля: $F_0 + \rho g(H_1 + h_2)S_1 = 4F_0$ . Отсюда:

3F_0 = \rho g(H_1 + h_2)S_1. \qquad (10)

Наконец, рассмотрим ситуацию после наливания третьей порции воды:

2V_0 + V_0/3 = H_1S_1 + H_2S_2. \qquad (11)

График F/F0 от V/V0 на сетке: ломаная из точек (0; 1), (1; 2), (2; 4), (2,33; 5); отрезки пересекаются в точке A на уровне 2,5; справа стрелками обозначены ΔF1 ∼ H1 (от 1 до 2,5) и ΔF2 ∼ H2 (от 2,5 до 5). — Рис. 18

Согласно закону Паскаля: $F_0 + \rho g(H_1 + H_2)S_1 = 5F_0$ . Отсюда:

4F_0 = \rho g(H_1 + H_2)S_1. \qquad (12)

Решая полученную систему уравнений, найдём:

S_1 : S_2 = 3 : 1,\quad H_1 : H_2 = 3 : 5.

Критерии оценивания

Графическое решение:

Найдена зависимость $F(h)$ … 2

Построен график с проведёнными прямыми … 4

Аналитическое решение:

Записаны уравнения $(1) - (6)$ (по балу за каждое уравнение) … 6

Ответы:

Найдено отношение $S_1$ к $S_2$ … 1

Найдено отношение $H_1$ к $H_2$ … 3

Оригинал в Архива: finalT11.pdf