Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 6. Шарик в сосуде с водой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Деревянный и металлический шарики связаны нитью и прикреплены одной нитью ко дну сосуда с водой. Сосуд вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси $OO'$ (рис. 5).

В результате шарики, оставаясь полностью в воде, расположились так, как показано на рисунке. Деревянный шарик (1) находится от оси вращения на расстоянии втрое меньшем, чем металлический (2). Верхняя нить составляет угол $\alpha$ ( $\sin\alpha = 4/5$ ) с вертикалью. Угол между нитями равен $90^{\circ}$ . Размеры шариков малы по сравнению с их расстояниями до оси вращения.

3. Под каким углом к вертикали направлена сила Архимеда, действующая на деревянный шарик? Дайте объяснение.

4. Найдите отношение сил натяжения верхней и нижней нитей.

Вращающийся сосуд с водой, поверхность воды — парабола; штрихпунктирная ось OO′; шарик 1 соединён нитью под углом α к вертикали с шариком 2, от которого вторая нить идёт ко дну под углом 90° к первой. — Рис. 5

Отговори

Решение

Пусть плотности воды, деревянного и металлического шариков равны $\rho$ , $\rho_1$ и $\rho_2$ соответственно, объёмы шариков — $V_1$ и $V_2$ , расстояние от оси вращения до деревянного шарика $R$ , силы натяжения верхней и нижней нитей $T_1$ и $T_2$ , угловая скорость вращения $\omega$ .

Рассмотрим мысленно вместо деревянного шарика шарик из воды. На эти шарики действует одинаковая сила Архимеда (рис. 19).

Два круга с подписями «Водяной шарик» и «Деревянный шарик»; на каждом сила Архимеда F_A под углом γ к вертикали, ускорение a влево и сила тяжести ρV1g (слева) и ρ1V1g (справа); у деревянного шарика дополнительно сила натяжения T1 под углом α. — Рис. 19

Ускорение шариков $a = \omega^2R$ . По второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

F_A\sin\gamma = \rho V_1\omega^2R,\quad F_A\sin\gamma - T_1\sin\alpha = \rho_1V_1\omega^2R,

F_A\cos\gamma = \rho V_1g,\quad F_A\cos\gamma - T_1\cos\alpha = \rho_1V_1g.

Отсюда:

\operatorname{tg}\gamma = \frac{\omega^2R}{g},\qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\omega^2R}{g}.

Итак, $\gamma = \alpha$ , то есть получаем ответ на первый вопрос: сила Архимеда направлена под углом $\alpha$ к вертикали, то есть, вдоль нити.

Найдём горизонтальные и вертикальные составляющие сил Архимеда, действующих на шарики (рис. 20):

F_{A_1x} = \rho V_1\omega^2R,\quad F_{A_1y} = \rho V_1g,

Схема сил на шариках: расстояния R и 3R от оси вращения ω; на верхнем шарике силы F_A1x, F_A1y, ρ1V1g и T1; на нижнем — F_A2x, F_A2y, ρ2V2g, T1 и T2; нижняя нить к дну под углом α; оси X и Y. — Рис. 20

F_{A_2x} = \rho V_2\omega^2\cdot 3R,\quad F_{A_2y} = \rho V_2g.

По второму закону Ньютона:

\begin{cases} F_{A_1x} - T_1\sin\alpha = \rho_1V_1\omega^2R,\\ F_{A_1y} - \rho_1V_1g - T_1\cos\alpha = 0,\\ F_{A_2x} + T_1\sin\alpha + T_2\cos\alpha = \rho_2V_2\omega^2\cdot 3R,\\ F_{A_2y} - \rho_2V_2g + T_1\cos\alpha - T_2\sin\alpha = 0. \end{cases}

Из записанных уравнений находим:

\begin{cases} (\rho - \rho_1)V_1\omega^2R = T_1\sin\alpha,\\ (\rho - \rho_1)V_1g = T_1\cos\alpha,\\ (\rho_2 - \rho)V_2\omega^2\cdot 3R = T_1\sin\alpha + T_2\cos\alpha,\\ (\rho_2 - \rho)V_2g = T_1\cos\alpha - T_2\sin\alpha. \end{cases}

Отсюда:

3\operatorname{tg}\alpha = \frac{x\sin\alpha + \cos\alpha}{x\cos\alpha - \sin\alpha},\ \text{где}\ x = \frac{T_1}{T_2}.

Зная $\alpha$ , находим:

x = \frac{T_1}{T_2} = \frac{19}{8}.

Критерии оценивания

Направление силы Архимеда, действующей на деревянный шарик:

Приведено объяснение … 2

Найдено направление … 1

Записана система уравнений Ньютона, описывающая движение системы … 4

Найдено отношение сил натяжения … 3

Оригинал в Архива: finalT11.pdf