Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9. Слоистый диэлектрик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Плоский конденсатор с расстоянием между обкладками $d$ подсоединён к источнику постоянного тока с ЭДС, равной $\mathscr{E}$ (рис. 9).

Плоский конденсатор с двумя заштрихованными слоями толщиной d/2 каждый (проводимости λ1 и λ2) со стрелками тока вниз; заряды пластин σ1 сверху и σ2 снизу; справа источник ЭДС ℰ с полюсами + и −. — Рис. 9

Конденсатор заполнен двумя слоями слабопроводящих сред с разными значениями проводимости $\lambda_1$ и $\lambda_2$ . Оба слоя находятся в электрическом контакте между собой и с пластинами конденсатора. Толщина каждого слоя $d/2$ , диэлектрическая проницаемость обоих слоёв $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 1$ . Найдите:

1. Поверхностные плотности $\sigma_1$ и $\sigma_2$ зарядов на пластинах конденсатора.

2. Поверхностную плотность $\sigma$ заряда в плоскости контакта слоёв.

Примечание: Удельная проводимость — это, величина, обратная удельному сопротивлению: $\lambda = 1/\rho$ .

Отговори

Решение

Пусть $E_1$ и $E_2$ — напряжённости однородных электрических полей в верхней и нижней пластинах соответственно. Тогда:

E_1\frac{d}{2} + E_2\frac{d}{2} = \mathscr{E}. \qquad (20)

Здесь $E_1d/2$ и $E_2d/2$ — падения напряжений на слоях. По закону Ома:

E_1\frac{d}{2} = I_1\frac{1}{\lambda_1}\frac{d/2}{S},\quad E_2\frac{d}{2} = I_2\frac{1}{\lambda_2}\frac{d/2}{S}, \qquad (21)

где $I_1 = I_2$ — силы токов, текущих в 1-ом и 2-ом слоях, $S$ - площадь пластин конденсатора. Поделив почленно эти соотношения, получим:

\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}. \qquad (22)

Решая систему из двух уравнений (20) и (22), найдём:

E_1 = \frac{2\mathscr{E}}{d\,(1 + \lambda_1/\lambda_2)},\quad E_2 = \frac{2\mathscr{E}}{d\,(1 + \lambda_2/\lambda_1)}. \qquad (23)

Найдём теперь поверхностные плотности зарядов на пластинах конденсатора

\sigma_1 = \varepsilon_0E_1 = \frac{2\varepsilon_0\mathscr{E}}{d\,(1 + \lambda_1/\lambda_2)};\quad \sigma_2 = -\varepsilon_0E_2 = -\frac{2\varepsilon_0\mathscr{E}}{d\,(1 + \lambda_2/\lambda_1)}. \qquad (24)

Полный заряд конденсатора, включающий заряды на пластинах и заряд в плоскости контакта слоёв, равен нулю. Пусть $\sigma$ — поверхностная плотность заряда в плоскости контакта. Условие равенства нулю полного заряда:

\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma = 0. \qquad (25)

Отсюда:

\sigma = -\sigma_1 - \sigma_2 = -\frac{2\varepsilon_0\mathscr{E}}{d}\left(\frac{1}{1 + \lambda_1/\lambda_2} - \frac{1}{1 + \lambda_2/\lambda_1}\right) = -\frac{2\varepsilon_0\mathscr{E}}{d}\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}. \qquad (26)

Или, если выразить $\sigma$ через удельные сопротивления:

\sigma = -\frac{2\varepsilon_0\mathscr{E}}{d}\frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}. \qquad (27)

Критерии оценивания

Указано соотношение между напряжённостями поля в конденсаторе и напряжением на нём … 1

Найдено соотношение между напряжённостями $E_1$ и $E_2$ поля в диэлектрических слоях … 1

Определена напряжённость $E_1$ поля в слое с проводимостью $\lambda_1$ … 1

Определена напряжённость $E_2$ поля в слое с проводимостью $\lambda_2$ … 1

Найдена поверхностная плотность заряда $\sigma_1$ … 2

Найдена поверхностная плотность заряда $\sigma_2$ … 2

Найдена поверхностная плотность заряда в плоскости контакта слоёв … 2

Оригинал в Архива: finalT11.pdf