Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 8. Адиабатический процесс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Теплоизолированный вертикальный сосуд, разделённый тяжёлым поршнем посередине: сверху объём V0 (вакуум), снизу газ P0/2, T0, V0; внизу трубка с краном наружу, снаружи P0, T0; стрелка g вниз. — Рис. 8

В цилиндрическом сосуде объёма $2V_0$ под тяжёлым поршнем находится одноатомный идеальный газ при температуре $T_0$ и давлении $P_0/2$ , занимающий объём $V_0$ (рис. 8). Над поршнем вакуум. Внизу в сосуде имеется небольшое отверстие перекрытое краном. Снаружи пространство заполнено тем же газом при давлении $P_0$ , температуре $T_0$ . Сосуд теплоизолирован.

Кран приоткрывают так, что поршень медленно поднимается вверх, и после того, как давление внутри и снаружи выравнивается, кран закрывают. Определите температуру газа после закрытия крана.

Отговори

Решение

Пусть при заполнении сосуда газом снаружи в сосуд перешёл газ, ранее занимавший объём $V$ (рис. 21). Внешнее давление при "продавливании" внутрь этого объёма совершает работу $A_{\text{внеш}} = P_0V$ .

Сосуд с поршнем, поднятым из штрихового исходного положения (стрелка вверх); через кран внизу в сосуд входит «внешний» газ объёма V, изображённый пунктирным кругом, сжимаемым со всех сторон давлением P0 (стрелки). — Рис. 21

Закон сохранения энергии для системы газ в сосуде — "внешний" газ объёма $V$ — поршень выглядит так:

U_1 + U_2 + A_{\text{внеш}} = U + \Delta E_{\text{п}}, \qquad (13)

где $U_1$ — внутренняя энергия исходного газа в сосуде, $U_2$ — энергия "внешнего" газа из объёма $V$ , $U$ — энергия газа в сосуде после заполнения, $\Delta E_{\text{п}}$ — изменение потенциальной энергии поршня.

U_1 = \frac{3}{2}\frac{P_0}{2}V_0;\quad U_2 = \frac{3}{2}P_0V;\quad U = \frac{3}{2}P_0 2V_0; \qquad (14)

\Delta E_{\text{п}} = mg\Delta h = \frac{P_0}{2}S\Delta h = \frac{P_0}{2}V_0. \qquad (15)

Подставляя (14) и (15) в уравнение (13), после преобразований получим:

\frac{5}{2}P_0V = \frac{11}{4}P_0V_0, \qquad (16)

V = \frac{11}{10}V_0. \qquad (17)

Исходное число молей газа в сосуде $\nu_1 = \frac{P_0V_0}{2RT_0}$ , число молей "внешнего" газа в сосуде $\nu_2 = \frac{11}{10}\frac{P_0V_0}{RT_0}$ . Итого $\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{8}{5}\frac{P_0V_0}{RT_0}$ . Из уравнения состояния:

\frac{P_0\cdot 2V_0}{RT} = \frac{8}{5}\frac{P_0V_0}{RT_0}, \qquad (18)

откуда:

T = \frac{5}{4}T_0. \qquad (19)

Критерии оценивания

Записан закон сохранения энергии … 2

Получены выражения для $U_1$ , $U_2$ , $U$ и $\Delta E_{\text{п}}$ (по баллу за каждую из формул) … 4

Найден объём $V$ закачанного газа … 1

Записано уравнение состояния для газа, находящегося в сосуде после установления равновесия … 2

Определена конечная температура $T$ газа … 1

Оригинал в Архива: finalT11.pdf