Съдържание

ВсОШ 2012, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 1 (10 кл.). 10 класс — Льдинка с полостью

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2011/2012 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Мельниковский Л.	Шеронов А.	Александров Д.	Бабинцев В.	Воронов А.
10	Шеронов А.	Слободянин В.	Чивилёв В.	Варламов С.	Александров Д.
11	Шеронов А.	Шеронов А.	Аполонский А.	Осин М.	Шеронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 10 января 2012 г. в 16:18.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В частично заполненный водой цилиндрический сосуд, площадь дна которого равна $S$ , положили кусок льда с воздушной полостью, в которой находился алюминиевый шарик массой, равной массе льда. При этом уровень воды поднялся на $h$ , а полностью погружённый в воду лёд плавает, не касаясь дна и стенок сосуда.

Плотность воды — $\rho_\text{в}$ , плотность льда — $\rho_\text{л}$ , плотность алюминия — $\rho_\text{ш}$ , ускорение свободного падения — $g$ .

1 Найдите объём $V_\text{п}$ воздушной полости.

2 Повысится или понизится уровень воды в сосуде после того, как весь лёд растает?

3 На сколько изменится уровень воды в сосуде после того, как лёд растает?

Решение

Объём, вытесняемый льдом с полостью равен

V=hS=V_\text{п}+V_\text{л}=V_\text{п}+\frac{m_\text{л}}{\rho_\text{л}},

где $V_\text{л}$ — объём льда, $m_\text{л}$ — его масса.

По закону Архимеда

(m_\text{л}+m_\text{ш})g=\rho_\text{в}gV

или, учитывая, что $m_\text{ш}=m_\text{л}=m$ ,

2m=\rho_\text{в}hS.

Из этих уравнений следует

V_\text{п}=hS-\frac{m_\text{л}}{\rho_\text{л}}=hS-\frac{\rho_\text{в}hS/2}{\rho_\text{л}}=hS\left(1-\frac{\rho_\text{в}}{2\rho_\text{л}}\right).

По закону Архимеда плавающий лёд вытесняет объём $(m_\text{л}+m_\text{ш})/\rho_\text{в}$ , а после таяния льда получившаяся вода и шарик вытесняют объём $(m_\text{л}/\rho_\text{в}+m_\text{ш}/\rho_\text{ш})$ . Так как $\rho_\text{в}<\rho_\text{ш}$ первый объём больше второго и уровень воды понизится. Разность этих объёмов равна $S\Delta h$ :

\frac{m_\text{ш}}{\rho_\text{в}}-\frac{m_\text{ш}}{\rho_\text{ш}}=S\Delta h,

откуда с учётом соотношения $2m=\rho_\text{в}hS$ получаем, что уровень воды понизится на

\Delta h=\frac mS\left(\frac1{\rho_\text{в}}-\frac1{\rho_\text{ш}}\right)=\frac{\rho_\text{в}hS/2}S\left(\frac1{\rho_\text{в}}-\frac1{\rho_\text{ш}}\right)=\frac h2\left(1-\frac{\rho_\text{в}}{\rho_\text{ш}}\right).

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Найден объём, вытесняемый льдом с полостью	2
Использован закон Архимеда (получено $2m=\rho_\text{в}hS$ или $(m_\text{ш}+m_\text{в})g=\rho_\text{в}gV$ )	2
С помощью предыдущих уравнений получено $V_\text{п}=hS(1-\rho_\text{в}/(2\rho_\text{л}))$ или эквивалентное ему выражение	1
Указано, что уровень воды понизится	1
Найдена разность вытесняемых объёмов	2
Получен конечный ответ $\Delta h=h/2\cdot(1-\rho_\text{в}/\rho_\text{ш})$	2

Оригинал в Архива: region12T.pdf