Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.2. Воздушный шарик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур

Условие

Известно, что при скоростях движения шарика, превышающих $\sim 10$ см/с, сила сопротивления воздуха определяется формулой

F_{\mathrm{c}} = \beta S^m v^n \rho^p, \qquad (1)

где $\beta$ — безразмерный коэффициент, $S$ — площадь максимального поперечного сечения шарика (рис. 2), $v$ — скорость его движения, $\rho$ — плотность воздуха, $m$ , $n$ , $p$ — некоторые числа.

Воздушный шарик каплевидной формы с заштрихованным максимальным поперечным сечением S; сверху стрелка силы F_c вниз, слева стрелка скорости v вверх, справа стрелка g вниз. — Рис. 2

1. Определите (теоретически) показатели степени $m$ , $n$ и $p$ в формуле (1).

2. Опишите эксперимент, позволяющий с помощью имеющегося оборудования определить зависимость силы сопротивления воздуха от скорости движения шарика. Проведите этот эксперимент.

3. По результатам измерений определите значение коэффициента $\beta$ .

Примечание: плотность воздуха $\rho = 1{,}3$ кг/м $^3$ . Считайте, что скорость шарика устанавливается на пути порядка размера шарика.

Оборудование. Большой воздушный шарик с лёгкой ниткой, наполненный гелием, кусочек пластилина, 10 скрепок массой $m = 0{,}41 \pm 0{,}01$ г каждая, секундомер, нить и ученическая линейка, миллиметровая бумага. Эксперимент проводится в помещении с известной высотой.

Отговори

Решение

Применим метод размерностей к уравнению (1):

[F_{\mathrm{c}}] = \frac{\text{кг}^p\,\text{м}^{2m+n-3p}}{\text{с}^n} = \text{Н} = \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}^2}.

Откуда, решив систему уравнений, получим: $m = 1$ , $n = 2$ и $p = 1$ .

К шарику можно прикрепить скрепки и кусочек пластилина. При подъёме, на него действует сила сопротивления $F_{\mathrm{c}}$ , постоянная выталкивающая сила $F_{\mathrm{A}}$ и сила тяжести $Mg$ , где $M$ — масса шарика и нагрузки. При установившемся равномерном движении шарика, второй закон Ньютона для него запишется в виде:

F_{\mathrm{A}} = F_{\mathrm{c}} + Mg.

Нагружая шарик, добьёмся его равновесия, при этом $F_{\mathrm{c}} = 0$ . Если теперь убрать $n$ скрепок, то при установившемся движении $F_{\mathrm{c}} = nmg$ . Убирая разное количество скрепок и замеряя время поднятия шарика (на участке с установившимся движением), получим зависимость силы сопротивления от скорости.

Используя экспериментальные данные, полученные в предыдущем пункте, построим график $F_{\mathrm{c}}(v^2)$ . Он должен получиться линейным. Коэффициент наклона прямой $k = \beta S\rho$ . Максимальную площадь поперечного сечения шарика найдём, измерив нитью периметр этого сечения $l$ . Предполагая, что сечение — окружность, получим $S = l^2/(4\pi)$ . Зная $S$ и коэффициент $k$ , вычислим $\beta$ .

Оригинал в Архива: finalE12.pdf