Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.5. Линзы в круг

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли рукопись в которой обсуждалось, как может идти луч через систему из $N$ одинаковых линз, оптические центры которых лежат на окружности, а их плоскости перпендикулярны этой окружности и проходят через её центр. От времени чернила выцвели и на схеме остались видны только следы от плоскостей двух соседних линз и фокус одной из них (рис. 18). Из текста следовало, что луч, преломляясь в каждой из линз, идёт по сторонам правильного $N$ –угольника. Вид линзы и её диаметр $D$ приведены на рис. 19.

1. Какие это могли быть линзы – собирающие или рассеивающие?

Построением (с помощью циркуля и линейки без делений) восстановите:

2. положение ещё двух линз (слева и справа от изображенных на рисунке плоскостей линз);

3. возможные положения оптических центров четырёх получившихся линз;

Окружность (вид линзы) с горизонтальным диаметром, показанным стрелками с подписью D. — Рис. 19

4. возможный ход луча через эти линзы.

Ответ обоснуйте.

Два отрезка, выходящих из точки C вверх под углом друг к другу (следы плоскостей двух соседних линз), между ними точка F (фокус). — Рис. 18

Отговори

Решение

По условию плоскости линз образуют правильный многоугольник. Из центра $C$ проводим два луча ( $CD$ и $CE$ ), образующие с ближайшими прямыми ( $CA$ и $CB$ ) углы $\alpha = 2\pi/N$ . Это и будут проекции плоскостей линз на плоскость рисунка.
Предположим, что фокус $F$ принадлежит левой линзе. Проведем через него перпендикуляр к этой линзе (рис. 31). Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью линзы даст положение её оптического центра $O$ . Отметим на остальных плоскостях оптические центры линз.
Многоугольник правильный, поэтому ход луча относительно плоскости линзы симметричен. Из формулы для тонкой собирающей линзы следует, что при таком ходе луч пересекает главную оптическую ось линзы на двойном фокусном расстоянии. Если же линза рассеивающая, то точку двойного фокуса пересечёт воображаемое продолжения луча. Откладываем на главных оптических осях каждой двойные фокусные расстояния. Луч, идущий через двойные фокусы, лежащие внутри $ACB$ , пойдёт относительно точки $C$ дальше оптических центров линз. Это соответствует собирающей линзе. Луч, идущий через двойные фокусы, лежащие снаружи $ACB$ , пойдёт относительно точки $C$ ближе оптических центров линз. Это соответствует рассеивающей линзе. Пусть эти лучи пересекают плоскости линз ( $CA$ и $CB$ ) в точках $A_1$ , $B_1$ и $A_2$ , $B_2$ . Откладывая от центра $C$ отрезки длиной $CB_1$ , мы восстановим точки, через которые пройдёт искомый луч, если линзы собирающие. Если откладывать от центра $C$ отрезки длиной $CB_2$ , мы восстановим точки, через которые пройдёт искомый луч, если линзы рассеивающие. Убеждаемся, что в обоих случаях луч проходит сквозь линзы (её радиус равен $D/2$ ).

Построение: из центра C выходят четыре луча CD, CA, CB, CE — плоскости четырёх линз; отмечены оптический центр O, фокусы F и двойные фокусы 2F на главных оптических осях; ломаные хода луча через точки A₁, B₁ (собирающие линзы) и A₂, B₂ (рассеивающие линзы); справа внизу пунктиром показана линза диаметра D. — Рис. 31

Теперь предположим, что фокус $F$ относится к правой линзе. Выполнив все построения аналогично ранее рассмотренному случаю, убеждаемся, что луч пройдёт мимо линз (на расстоянии большем её радиуса $D/2$ ).
Итак, возможны два варианта. Линза может быть собирающей и рассеивающей. Фокус $F$ принадлежит левой линзе.

Оригинал в Архива: finalT12.pdf