Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.4. Линейный процесс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Один моль идеального многоатомного газа переводят из состояния $B$ , в котором температура равна $t_B = 217\ {}^{\circ}C$ в состояние $D$ так, что давление линейно зависит от объема, температура монотонно убывает, а к газу на протяжении всего процесса подводят тепло (рис. 17).

Найдите максимально возможную работу $A_m$ , которую может совершить этот газ в таком процессе.

Диаграмма p–V: отрезок прямой, идущий вниз от точки B к точке D, стрелка указывает направление процесса от B к D. — Рис. 17

Отговори

Решение

Запишем уравнение линейного процесса $BD$ в виде $p(V) = p_D + k(V - V_D)$ , где $p_D$ и $V_D$ есть давление и объём газа в состоянии $D$ , соответственно. Отсюда, $k = -\dfrac{p_D}{V_0 - V_D}$ , где $V_0$ – точка пересечения прямой $BD$ с осью объёмов. Процесс прекращается в точке $D$ , где данной прямой касается адиабата (теплота подводится) (рис. 30). Условием касания адиабаты и прямой является совпадение коэффициентов наклона в точке $D$ .

Диаграмма p–V: прямая BD, касающаяся изотермы T_B в точке B и адиабаты в точке D; стрелка вдоль прямой от B к D. — Рис. 30

Уравнение адиабаты:

pV^{\gamma} = p_D{V_D}^{\gamma}.

Продифференцируем уравнение адиабаты и найдем угловой коэффициент в точке $D$ :

p = \frac{p_D{V_D}^{\gamma}}{V^{\gamma}},

p'(V_D) = -\gamma\frac{p_D{V_D}^{\gamma}}{{V_D}^{\gamma+1}} = -\gamma\frac{p_D}{V_D}.

Приравнивая $p'(V_D) = k$ , при $\gamma = 4/3$ (газ многоатомный), получим $V_D = 4V_0/7$ .

Чтобы работа была максимальной, необходимо прямую $BD$ проводить как можно более полого. В пределе это будет касательная к изотерме в точке $B$ . Аналогично находим

V_B = \frac{V_0}{2}.

Далее,

p_D = 2p_B - \frac{p_B}{V_B}V_D = \frac{6}{7}p_B.

Максимальная работа равна

A_m = \frac{1}{2}(p_B + p_D)(V_D - V_B) = \frac{1}{2}p_BV_B\left(1 + \frac{6}{7}\right)\left(\frac{8}{7} - 1\right) = \frac{13}{98}RT_B = 540{,}15\ \text{Дж},

где $T_B = 490\ \text{К}$ .

Оригинал в Архива: finalT12.pdf