Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.3. Диполь в электрическом поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Диполь представляет собой два точечных заряда $+q$ и $-q$ , закреплённых на расстоянии $l$ друг от друга. Масса диполя $m$ . Диполь ориентирован вдоль оси $x$ и влетает со скоростью $v_0$ в область длиной $2L \gg l$ (рис. 16). В этой области вектор напряжённости электрического поля $\overrightarrow{E}$ везде направлен вдоль оси $x$ , а его модуль изменяется по закону $E(x) = E_0\left(1 - \dfrac{x^2}{L^2}\right)$ . Найдите зависимость силы $F$ , действующей на диполь, от его координаты $x$ , максимальную скорость диполя, а также время пролёта области $2L$ . Считайте, что ориентация диполя в пространстве не меняется.

Диполь (заряды −q и +q на расстоянии l) летит со скоростью v₀ вдоль оси x к области от −L до +L (пунктирный прямоугольник), в которой стрелками показано поле E вдоль оси x; длина стрелок наибольшая в середине (x = 0). — Рис. 16

Примечание. Такое электрическое поле можно создать между пластинами плоского конденсатора с помощью распределённого объёмного заряда.

Отговори

Решение

Сила, действующая на диполь со стороны электрического поля, является суммой сил, действующих на заряды $+q$ и $-q$ . Пусть координата центра диполя $x$ , тогда

F_x(x) = qE(x + l/2) - qE(x - l/2) = q\frac{dE}{dx}l = -2qlE_0\frac{x}{L^2}.

Запишем второй закон Ньютона для диполя:

m\ddot{x} = F(x) = -2\frac{qlE_0}{L^2}x.

Полученное уравнение имеет вид уравнения гармонических колебаний с циклической частотой $\omega$ :

\omega = \sqrt{2\frac{qlE_0}{mL^2}}.

Его решение можно записать в виде:

x(t) = A\cos(\omega t + \varphi), \qquad v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi).

Постоянные $A$ и $\omega$ найдём из начальных условий:

\varphi = \mathrm{arctg}\,\frac{v_0}{\omega L} + \pi, \qquad A = L\sqrt{1 + \left(\frac{v_0}{\omega L}\right)^2}.

Зная уравнение движения, можно найти наибольшую скорость диполя:

v_{max} = A\omega = \sqrt{v_0^2 + 2\frac{qlE_0}{m}}.

Фазу колебаний в момент, когда диполь покинет область поля, найдём из тригонометрии:

\varphi_1 = 2\pi - \mathrm{arctg}\,\frac{v_0}{\omega L}.

Зная начальную и конечную фазу, можно найти время пролёта:

t = \frac{\varphi_1 - \varphi}{\omega} = \frac{1}{\omega}\left(\pi - 2\,\mathrm{arctg}\,\frac{v_0}{\omega L}\right).

Оригинал в Архива: finalT12.pdf