Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.2. Магнетизм

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

По двум параллельным горизонтальным направляющим (рис. 15), расположенным на расстоянии $l$ друг от друга, могут перемещаться без трения два металлических стержня $AB$ и $CD$ , имеющие массу $m$ и электрическое сопротивление $R$ каждый. Однородное магнитное поле индукции $B$ направлено перпендикулярно плоскости направляющих. В начальный момент времени стержни расположены на расстоянии $d$ друг от друга и перпендикулярны направляющим. Стержень $CD$ неподвижен, а стержню $AB$ сообщена скорость $v_0$ , параллельная направляющим, в направлении от $CD$ .

Вид сверху: две параллельные направляющие на расстоянии l, на них стержни CD (слева) и AB (справа) на расстоянии d; стержню AB сообщена скорость v₀ вправо; поле B направлено на читателя (значки ⊙). — Рис. 15

1. На каком расстоянии друг от друга будут находиться стержни через большой промежуток времени?

2. Сколько теплоты выделится в этой системе через большой промежуток времени?

Сопротивлением направляющих можно пренебречь.

Отговори

Решение

Стержни CD и AB на направляющих, поле ⊙; силы Ампера F_CD (вправо, на CD) и F_AB (влево, на AB); токи I в стержнях в противоположных направлениях; скорости v_CB и v_AB вправо. — Рис. 29

При изменении площади контура $ABCD$ , образованного стержнями и направляющими, из-за возникающей ЭДС индукции в системе течёт электрический ток (рис. 29). Силы Ампера действует таким образом, что тормозят стержень $AB$ и разгоняют $CD$ . При выравнивании скоростей $v_{AB}$ и $v_{CD}$ магнитный поток через контур $ABCD$ перестаёт изменяться, исчезает ЭДС индукции и индуктивный ток, а с ними и силы Ампера. С этого момента стержни движутся с равными и одинаковыми скоростями.

За малый промежуток времени $\Delta t$ изменение площади контура

\Delta S = (v_{AB} - v_{CD})l\Delta t,

изменение магнитного потока

\Delta\Phi = B\Delta S = B(v_{AB} - v_{CD})l\Delta t,

ЭДС индукции

|\mathscr{E}_{\text{и}}| = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = B(v_{AB} - v_{CD})l,

ток в контуре

I_{AB} = I_{CD} = \frac{|\mathscr{E}_{\text{и}}|}{2R} = \frac{B(v_{AB} - v_{CD})l}{2R},

силы Ампера

F_{AB} = F_{CD} = \frac{B^2l^2(v_{AB} - v_{CD})}{2R},

ускорения стержней направлены противоположно и равны

a = \frac{B^2l^2(v_{AB} - v_{CD})}{2mR}.

С учётом направления ускорения

\frac{\Delta v_{AB}}{\Delta t} = -\frac{B^2l^2(v_{AB} - v_{CD})}{2mR},

\frac{\Delta v_{CD}}{\Delta t} = \frac{B^2l^2(v_{AB} - v_{CD})}{2mR}.

Домножая обе части уравнений на $\Delta t$ и учитывая, что $(v_{AB} - v_{CD})\Delta t = \Delta d$ - изменение расстояния между стержнями, получаем

\Delta v_{AB} = -\frac{B^2l^2}{2mR}\Delta d,

\Delta v_{CD} = \frac{B^2l^2}{2mR}\Delta d.

Тогда

v_{AB} = v_0 - \frac{B^2l^2}{2mR}\Delta d,

v_{CD} = \frac{B^2l^2}{2mR}\Delta d.

При выравнивании скоростей

v_0 - \frac{B^2l^2}{2mR}\Delta d = \frac{B^2l^2}{2mR}\Delta d,

отсюда

\Delta d = \frac{mv_0R}{B^2l^2}.

Окончательно установившееся расстояние между стержнями

d' = d + \Delta d = d + \frac{mv_0R}{B^2l^2}.

Скорости при этом

v_{AB} = v_{CD} = v_0/2.

В системе выделится теплота

Q = \frac{mv_0^2}{2} - 2\frac{m(v_0/2)^2}{2} = \frac{mv_0^2}{4}.

Оригинал в Архива: finalT12.pdf