Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.2. Пружина и шарик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

На горизонтальном столе вертикально закреплена длинная гладкая труба, внутри которой установлена лёгкая пружина. Внутри трубы с высоты $H = 2\ \text{м}$ над столом без начальной скорости начинает падать шарик. Коснувшись верхнего витка пружины, шарик прилипает к нему. На рис. 1 приведён график зависимости кинетической энергии $E_k$ падающего шарика от его высоты $h$ над поверхностью стола. Определите длину $L_0$ недеформированной пружины, коэффициент жёсткости пружины $k$ и массу шарика $m$ . Считайте, что потери механической энергии в момент касания шариком верхнего витка пружины не происходит, и что закон Гука справедлив при любых деформациях пружины. Примите $g = 10\ \text{м/с}^2$ .

График зависимости кинетической энергии E_k (Дж) от высоты h (м) на клетчатой сетке: по оси h отметки 1,0; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0, по оси E_k — 0, 1, 2, 3. Кривая растёт от нуля при h = 1,0 м до максимума около 2,8 Дж при h ≈ 1,375 м, затем линейно убывает до нуля при h = 2,0 м. — Рис. 1

Примечание. Для расчётов используйте выданный Вам отдельно увеличенный рисунок 1.

Отговори

Решение

На первом участке падения (до касания пружины $L_0 < h < H$ ) кинетическая энергия шарика равна уменьшению его потенциальной энергии:

E_{\text{к}} = mg(H - h).

Таким образом, по наклону начального линейного участка графика находим:

mg = \frac{\Delta E_{\text{к}}}{\Delta h} = 5\ \text{Н}, \qquad \text{откуда} \qquad m = 0{,}5\ \text{кг}.

Длину пружины $L_0$ определим по значению $h$ , при котором нарушается линейный характер зависимости $E_{\text{к}}(h)$ .

L_0 = 1{,}5\ \text{м}.

После контакта шарика с пружиной уменьшение его потенциальной энергии равно сумме кинетической энергии шарика и потенциальной энергии деформированной пружины:

mg(H - h) = \frac{k(L_0 - h)^2}{2} + E_k. \qquad (4)

Мы получили квадратное уравнение относительно $h$ . Максимум квадратичной функции вида $\left(y = ax^2 + bx + c\right)$ достигается при $x_m = -b/(2a)$ .

Следовательно, в уравнении (4) значение $h_m$ , при котором кинетическая энергия шарика максимальна, определяется выражением:

h_m = L_0 - \frac{mg}{k}. \qquad (5)

Из графика видно, что максимум кинетической энергии достигается при

h_m = 1{,}375\ \text{м}. \qquad (6)

Приравнивая (5) и (6), находим $k = 40\ \text{Н/м}$ .

Оригинал в Архива: finalT12.pdf