Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.3. Предварительный подогрев

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

В лаборатории у экспериментатора Глюка были электронагреватель с мешалкой, термостат и два тонкостенных химических стакана, линейные размеры которых отличались в 2 раза (толщина стенок стаканов одинакова). В термостате поддерживалась постоянная температура $t_1 = 20^{\circ}\text{С}$ (рис. 2). Глюк решил исследовать, как зависит температура жидкости в стакане от времени (мешалка нужна для быстрого выравнивания температуры по всему объёму стакана).

Термостат (сосуд с жидкостью, подпись «термостат», t₁ = 20°C), внутри которого стоит стакан с жидкостью; в стакан опущены термометр, спираль электронагревателя (подпись «электронагреватель») и мешалка. — Рис. 2

Сначала он использовал стакан меньшего размера, который заполнил исследуемой жидкостью при температуре $t_1 = 20^{\circ}\text{С}$ и поместил в термостат. Включив электронагреватель, Глюк обнаружил, что за первые $\tau_1 = 10\ \text{с}$ система нагрелась на $\Delta t_1 = 1^{\circ}\text{С}$ . Спустя продолжительное время температура жидкости установилась на отметке $t_2 = 40^{\circ}\text{С}$ .

Во втором эксперименте он взял больший стакан, заполнил его той же жидкостью, нагретой до температуры $t_3 = 35^{\circ}\text{С}$ , и включил тот же нагреватель в сеть. Через некоторое время $\tau_2$ он с удивлением обнаружил, что температура содержимого в стакане понизилась на $\Delta t_2 = 0{,}5^{\circ}\text{С}$ .

Считайте, что теплоёмкость стаканов мала по сравнению с теплоёмкостью содержащейся в них жидкости.

1. Найдите температуру $t_4$ , которая установится в стакане спустя продолжительное время?

2. Вычислите время $\tau_2$ .

Примечание. Известно, что поток энергии проходящий через слой вещества (стенки стакана) в единицу времени, прямо пропорционален разнице температур на границах слоя и площади поверхности слоя.

Отговори

Решение

Заметим, что мощность тепловых потерь стакана $N_1 = \alpha S(t_i - t_1)$ , где $S$ — площадь внешней поверхности стакана, $t_i$ — температура жидкости в стакане, $\alpha$ — коэффициент пропорциональности.

Запишем уравнение теплового баланса для первого стакана:

Q_1 = m_1C\Delta t_1 = (N_0 - N_1)\tau_1 \approx N_0\tau_1, \qquad (7)

где $N_0$ — мощность нагревателя, $C$ — удельная теплоёмкость жидкости в стакане, $m_1 = \rho V_1$ — масса жидкости, находящейся в первом стакане. Тепловыми потерями пренебрегаем из-за малой разности температур.

Когда процесс теплообмена установится, то:

N_0 = N_1, \qquad \text{или} \qquad N_0 = \alpha S_1(t_2 - t_1). \qquad (8)

Аналогичным образом для второго случая запишем:

Q_2 = m_2C\Delta t_2 \approx (N_0 - \alpha S_2(t_3 - t_1))\tau_2, \qquad (9)

N_0 = \alpha S_2(t_4 - t_1). \qquad (10)

Из свойств подобия следует, что $S \sim l^2$ , $V \sim l^3$ , откуда $S_2 = 4S_1$ , $m_2 = 8m_1$ . Из (8) и (10) получим:

S_1(t_2 - t_1) = 4S_1(t_4 - t_1), \qquad \text{или} \qquad t_4 = 25^{\circ}\text{С}.

Из (8) следует:

\alpha S_1 = \frac{N_0}{t_2 - t_1}. \qquad (11)

Искомое время $\tau_2$ найдём из (9) с учётом (7):

\tau_2 \approx \frac{8m_1C\Delta t_2}{N_0 - 4\alpha S_1(t_3 - t_1)}; \qquad (12)

\tau_1 \approx \frac{m_1C\Delta t_1}{N_0}. \qquad (13)

Поделив почленно (12) на (13), с учётом (11), получим:

\tau_2 \approx \tau_1\left[\frac{8\Delta t_2}{\Delta t_1}\frac{t_2 - t_1}{(t_2 - t_1) - 4(t_3 - t_1)}\right] \approx 20\ \text{с}.

Оригинал в Архива: finalT12.pdf