Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.5. Потерянное зеркало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

В архиве Снеллиуса нашли чертеж, на котором были изображены два плоских зеркала $M_1$ и $M_2$ , образующие двугранный угол $\varphi$ , точечный источник света $S$ и область $AOB$ (она заштрихована), из которой можно было видеть одновременно оба изображения источника. От времени чернила выцвели, и невозможно стало разглядеть, как расположено зеркало $M_2$ и точечный источник $S$ (рис. 8).

Горизонтальное зеркало M₁ (заштрихованная линия), оканчивающееся в точке O; из O выходят лучи OA и OB, область AOB между ними закрашена; угол AOB обозначен α. — Рис. 8

Восстановите по имеющимся данным с помощью циркуля и линейки без делений положение зеркала $M_2$ и геометрическое место точек, где бы мог находиться источник $S$ . Зеркала считайте полубесконечными. Вычислите угол $\varphi$ между плоскостями зеркал, если $\angle AOB = \angle\alpha = 30^{\circ}$ .

Отговори

Решение

Зеркала, по условию, образуют двугранный угол. Область, из которой видны оба изображения источника, содержит точку $O$ каждого зеркала. Значит, зеркала пересекаются в точке $O$ . Область, из которой видно изображение источника $S$ в зеркале $M_1$ , ограничивается лучом $OB$ (если бы она ограничивалась лучом $OA$ , в области $AOB$ не было бы видно изображения в этом зеркале). Значит, изображение источника в зеркале $M_1$ находится на продолжении прямой $BO$ за точку $O$ (рис. 21). Аналогично, изображение источника в зеркале $M_2$ находится на продолжении прямой $AO$ за точку $O$ .

Геометрическое место точек, где мог бы находиться источник — это луч $OC$ , получающийся отражением луча $OB_1$ в зеркале $M_1$ ( $\angle B_1OM_1 = \angle COM_1$ ).

Поскольку источник $S$ , лежащий на луче $OC$ , при отражении в зеркале $M_2$ должен попасть на луч $OA_1$ , то зеркало $OM_2$ лежит на биссектрисе угла $\angle COA_1$ .

На рисунке для некоторого положения источника $S$ показаны положения его изображений в зеркалах $M_1$ и $M_2$ .

Луч $OA_1$ — это изображение луча $OC$ в зеркале $M_2$ . При повороте зеркала $M_2$ на угол $\varphi$ , изображение луча $OC$ повернётся на угол $2\varphi$ . При этом плоскость зеркала $M_2$ перейдёт в плоскость зеркала $M_1$ , а луч $OA_1$ перейдёт в луч $OB_1$ . Значит,

\angle A_1OB_1 = 2\varphi = \angle AOB = 30^{\circ}, \qquad \text{откуда} \qquad \varphi = 15^{\circ}.

Построение: зеркало M₁ с точкой O, закрашенная область AOB с углом α; луч OC с источником S на нём, зеркало M₂ под углом φ к продолжению M₁ (обозначено (M₁)); лучи OA₁ и OB₁ — продолжения AO и BO, на них изображения S₂ и S₁; дуга окружности через S, S₂, S₁. — Рис. 21

Оригинал в Архива: finalT12.pdf