Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.1. Платформа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

На платформе с прямоугольным выступом высотой $h$ лежит небольшое тело массой $m$ . К нему прикреплён один конец невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок, установленный на выступе платформы (рис. 9). Второй конец нити закреплён на вертикальной стене так, что участок нити между блоком и стеной горизонтален.

Платформа с прямоугольным выступом высоты h на гладком полу у вертикальной стены; на платформе тело m, нить от тела идёт под углом α к горизонту к блоку на выступе и далее горизонтально к стене; к платформе приложена сила F, скорость v направлена от стены; стрелка g вниз. — Рис. 9

Платформу перемещают от стены с постоянной скоростью $v$ . С какой силой $F$ нужно тянуть платформу в тот момент, когда участок нити над платформой составляет угол $\alpha$ с горизонтом? Сила $F$ горизонтальна и лежит в плоскости рисунка. Коэффициент трения между телом и платформой $\mu$ , между платформой и полом трения нет. Считайте, что во время движения груз от платформы, а платформа от пола не отрываются.

Отговори

Решение

Силы в системе отсчёта платформы: тело в точке A на платформе, сила трения F_тр влево, нормальная реакция N вверх, сила тяжести mg вниз, натяжение T вдоль нити AO под углом α, ускорение a вправо; блок O на выступе высоты h, скорости v у блока и нити, натяжение T на горизонтальном участке. — Рис. 22

Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с платформой (рис. 22). Здесь стенка удаляется от платформы с постоянной скоростью $v$ , а тело движется по платформе со скоростью $v_a = v/\cos\alpha$ , так как проекция скорости точки $A$ на отрезок нити $AO$ равна $v$ . Определим ускорение, с которым движется тело по платформе. Относительно точки $O$ точка $A$ движется по окружности радиуса $l = h/\sin\alpha$ со скоростью $v'_A = v_A\cdot\sin\alpha = v\cdot\mathrm{tg}\alpha$ . Центростремительное ускорение точки $A$ направлено вдоль $AO$ к точке $O$ и равно $a_n = v^2\mathrm{tg}^2\alpha/l$ . Полное ускорение точки $A$ направлено горизонтально и равно

a = \frac{a_n}{\cos\alpha} = \frac{v^2\mathrm{tg}^2\alpha}{l\cos\alpha} = \frac{v^2}{h}\mathrm{tg}^3\alpha.

Теперь рассмотрим действующие на тело силы. В проекции на горизонтальную ось

ma = T\cos\alpha - \mu N,

на вертикальную

N + T\sin\alpha - mg = 0.

Отсюда,

N = mg - T\sin\alpha, \qquad T = \frac{m(a + \mu g)}{cos\alpha + \mu sin\alpha},

N = \frac{m(g\cos\alpha - a\sin\alpha)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}.

Отметим сразу, что движение по платформе без отрыва от нее возможно только при $\alpha \leqslant \mathrm{arctg}(a/g)$ .

Сила, которую необходимо прикладывать к платформе,

F = \mu N + T(1 - \cos\alpha).

Подставляя $N$ и $T$ , получаем:

F = m\left(\frac{a + \mu g}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} - a\right) = m\left(\frac{v^2\mathrm{tg}^3\alpha + \mu gh}{h(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)} - \frac{v^2}{h}\mathrm{tg}^3\alpha\right).

Оригинал в Архива: finalT12.pdf