Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.2. Вращающаяся трубка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Замкнутая стеклянная трубка с отводом, погружённым в открытый сверху сосуд со ртутью, в верхней своей части содержит столбик воздуха. Его границы со ртутью находятся на расстоянии $R$ от оси симметрии системы (рис. 10). Определите, с какой угловой скоростью нужно вращать систему вокруг этой оси, чтобы давление воздуха изменилось в $n$ раз. Начальное давление воздуха $p_0$ , плотность ртути $\rho$ , её уровень в сосуде можно считать неизменным.

Замкнутая горизонтальная стеклянная трубка в форме рамки с вертикальным отводом, опущенным в сосуд со ртутью; вертикальная пунктирная ось вращения с угловой скоростью ω; в верхней части трубки столбик воздуха, границы которого на расстоянии R от оси. — Рис. 10

Отговори

Решение

Выделим небольшой участок ртути длиной $\Delta l$ , находящийся на расстоянии $l$ от оси вращения (рис. 23). Масса этого участка $\Delta m = \rho\Delta lS$ , где $S$ — площадь поперечного сечения трубки. Пусть $p_1$ — давление ртути на правой границе участка, $p_2$ — на левой, $\Delta p = p_2 - p_1$ . Рассматриваемый участок движется с центростремительным ускорением $a = \omega^2l$ . По второму закону Ньютона:

\Delta m\omega^2l = (p_2 - p_1)\,S = \Delta pS, \qquad \text{откуда} \qquad \Delta p = \rho\omega^2l\Delta l.

Разрез трубки (заштрихованные стенки) с осью вращения справа (ω); отмечены расстояние R до границы воздуха, участок ртути длиной Δl и расстояние l от него до оси. — Рис. 23

На рис. 24 представлен график зависимости $\Delta p/\Delta l$ от расстояния до оси вращения $l$ . Изменение давления при перемещении от $l = 0$ до $l = r$ есть площадь треугольника под этим графиком:

p(r) - p(0) = \frac{1}{2}\rho\omega^2r^2. \qquad (16)

График: по вертикальной оси Δp/Δl, по горизонтальной l; прямая из начала координат, пунктиром отмечено значение l = r. — Рис. 24

Давление воздуха после раскручивания $p = np_0$ . Поскольку температура воздуха сохраняется, то $pr = p_0R$ , где $r$ — новое расстояние от центра вращения до границы воздуха со ртутью. Подставив эти условия в уравнение (16), получим:

(n - 1)\,p_0 = \frac{1}{2}\rho\omega^2\frac{R^2}{n^2}, \qquad \text{откуда} \qquad \omega = \frac{n}{R}\sqrt{\frac{2p_0(n - 1)}{\rho}}.

Оригинал в Архива: finalT12.pdf