Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.3. Монотонный процесс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Один моль идеального газа переводят из состояния с известным давлением $p_1$ и известным объёмом $V_1$ в состояние с давлением $0{,}75p_1$ и объёмом $V_2 > V_1$ . Зависимость $p(V)$ в этом процессе является линейной функцией (рис. 11).

Диаграмма p–V: отрезок прямой из точки 1 (V₁, p₁) в точку 2 (V₂, 0,75p₁); пунктиром отмечены p₁, 0,75p₁, V₁ и V₂. — Рис. 11

При каких значениях конечного объёма $V_2$ температура в данном процессе изменяется монотонно?

Отговори

Решение

Уравнение линейного процесса:

p = p_1 - (V - V_1)\beta,

Зависимость T(V): парабола, выходящая из начала координат, с вершиной при V = b (пунктир) и нулём при V = 4V₂ − 3V₁. — Рис. 25

где $\beta$ — модуль углового коэффициента наклона прямой.

p(V_2) = 0{,}75p_1,

\beta = \frac{p_1}{4(V_2 - V_1)}.

Поэтому

p = p_1 - \frac{p_1}{4}\frac{V - V_1}{V_2 - V_1}. \qquad (17)

Из уравнения Менделеева — Клапейрона

pV = \left(p_1 - \frac{p_1}{4}\frac{V - V_1}{V_2 - V_1}\right)V = RT, \qquad (18)

видно, что температура зависит от объёма как

T = k(4V_2 - 3V_1 - V)V, \qquad (19)

где коэффициент пропорциональности $k = p_1/(4(V_2 - V_1))$ . Уравнение (19) — парабола (рис. 25) с вершиной $b = (4V_2 - 3V_1)/2$ . По условию температура должна меняться монотонно. Возможны два случая: возрастание или убывание температуры в течение всего процесса.

Рассмотрим случай, когда температура возрастает. Это означает, что объёмы $V_1$ и $V_2$ принадлежат отрезку $[0; b]$ :

\frac{4V_2 - 3V_1}{2} \geqslant V_2 > V_1 \geqslant 0,

V_2 \geqslant 3V_1/2.

При убывании температуры объёмы $V_1$ и $V_2$ принадлежат отрезку $[b; 2b]$ :

\frac{4V_2 - 3V_1}{2} \leqslant V_1 < V_2 \leqslant 4V_2 - 3V_1,

V_1 < V_2 \leqslant 5V_1/4.

Оригинал в Архива: finalT12.pdf