Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.4. Разлёт трёх заряженных частиц

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Три частицы с одинаковыми зарядами в начальный момент удерживают в вершинах треугольника со сторонами $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ (рис. 12). Частицы одновременно отпускают, и они разлетаются так, что отрезки, соединяющие любую пару частиц остаются параллельными исходным. Каково отношение масс этих частиц $m_1 : m_2 : m_3$ ? Гравитационным притяжением пренебречь.

Треугольник с вершинами m₁, m₂, m₃ (пунктирные стороны R₁ — напротив m₁, R₂ — напротив m₂, R₃ — напротив m₃); от вершин наружу направлены пунктирные стрелки, внутри пунктирные отрезки от вершин к общей точке. — Рис. 12

Отговори

Решение

В любой момент времени отношение расстояний между частицами $r_1 : r_2 : r_3$ остается равным отношению исходных расстояний $R_1 : R_2 : R_3$ , поскольку конфигурации частиц являются подобными треугольниками. По этой же причине углы $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_3$ при вершинах $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ остаются неизменными (рис. 26). Рассмотрим две сходственные стороны треугольников, например, $R_3$ и $r_3$ . Проведём к ним перпендикуляр $ON$ . Стороны параллельны, если проекции скоростей и ускорений частиц $m_1$ и $m_2$ на $ON$ равны, это обусловлено тем, что частицы с массами $m_1$ и $m_2$ взаимодействуют лишь с зарядом частицы массой $m_3$ . Исходя из закона Кулона и второго закона Ньютона можно получить выражения для ускорений и их проекций:

a_{1\perp} = \frac{kq^2\sin\alpha_1}{m_1r_2^2} = a_{2\perp} = \frac{kq^2\sin\alpha_2}{m_2r_1^2}.

Два подобных треугольника с параллельными сторонами: внутренний с вершинами m₁, m₂, m₃ и сторонами R₁, R₂, R₃, внешний с углами α₁, α₂, α₃ и сторонами r₁, r₂, r₃; точка O, перпендикуляр ON к сторонам R₃ и r₃, высота h, проекции ускорений a₁⊥ и a₂⊥. — Рис. 26

Высота $h$ треугольника, опущенная на сторону $r_3$ , равна:

h = r_2\sin\alpha_1 = r_1\sin\alpha_2.

Поэтому из предшествующего равенства следует

\frac{1}{m_1r_2^3} = \frac{1}{m_2r_1^3},

откуда

m_1 : m_2 = r_1^3 : r_2^3.

Аналогичным образом найдём отношение масс $m_2 : m_3 = r_2^3 : r_3^3$ . Следовательно, $m_1 : m_2 : m_3 = r_1^3 : r_2^3 : r_3^3$ .

Оригинал в Архива: finalT12.pdf