Съдържание

ВсОШ 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (11 кл.). 11 класс — Свободные колебания линейки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Экспериментальный тур

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Методическое пособие. Владивосток, 2013 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com

Класс	Задача 1	Задача 2
9	Майер В.	Замятнин М.
10	Фольклор	Костарев В.
11	Гуденко А.	Костарев В.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 18 апреля 2013 г. в 14:12.

141700, Московская область, г. Долгопрудный, Московский физико-технический институт.

Условие

Оборудование. Стробоскоп, стальная линейка толщиной $h_1=(1{,}00\pm0{,}01)\ \text{мм}$ , пластмассовая линейка толщиной $h_2=(2{,}1\pm0{,}1)\ \text{мм}$ , зажим, миллиметровая бумага.

Если отклонить в поперечном направлении конец зажатой с одного конца упругой линейки и отпустить, то возникнут свободные поперечные колебания. Наименьшая циклическая частота $\omega$ таких колебаний определяется плотностью $\rho$ материала линейки, его модулем Юнга $E$ и геометрическими размерами свободного конца линейки: длиной $l$ , шириной $b$ и толщиной $h$ (рис. 5):

\omega=\beta E^m\rho^n l^p b^q h^s,\qquad (1)

где $\beta$ — безразмерный коэффициент, а $m$ , $n$ , $p$ , $q$ , $s$ — некоторые рациональные числа.

Модуль Юнга определяет упругие свойства материала. По закону Гука относительная деформация стержня под действием силы $F$ , приложенной перпендикулярно его сечению $S$ , равна:

\varepsilon=\frac{\Delta l}{l}=\frac{F}{ES}.

Для стали модуль Юнга $E=2{,}1\cdot10^{11}\ \text{Па}$ .

1. Предложите метод измерения частоты колебаний линейки с помощью стробоскопа.

2. Снимите экспериментальную зависимость наименьшей частоты $\omega(l)$ колебаний стальной линейки.

3. По результатам измерений определите значение коэффициента $p$ в формуле (1).

4. Определите показатели степени $m$ , $n$ , $q$ , $s$ в формуле (1).

5. Определите модуль Юнга материала пластмассовой линейки, считая её поперечное сечение прямоугольником.

Примечание. Стробоскоп — прибор, позволяющий воспроизводить повторяющиеся яркие световые импульсы с заданной частотой. Для включения нажмите и удерживайте «READ». Для регулировки частоты используйте «UP» и «DOWN». Для тонкой настройки нажмите «FINE ADJUST». Для воспроизведения световых импульсов удерживайте нажатой кнопку справа сбоку. Частота мерцаний указана в $\text{мин}^{-1}$ (RPM).

Решение

Введение. Закрепим линейку на краю стола, используя зажим. Возбудим колебания, отклоняя линейку в поперечном направлении, и направим перпендикулярно плоскости колебания луч стробоскопа. Предположим, что конец линейки совершает гармонические колебания с частотой $\omega_{\text{л}}$ , а стробоскоп мерцает с частотой $\omega_{\text{с}}$ , то есть мы видим линейку только в моменты времени $t_n=n(2\pi/\omega_{\text{с}})$ . Координата конца линейки в моменты, когда мы её видим, $x_n=x_0\cos(2\pi n(\omega_{\text{л}}/\omega_{\text{с}})+\varphi_0)$ . Линейка «замрёт», если частота колебания линейки будет кратна частоте стробоскопа, то есть

\omega_{\text{л}}=k\omega_{\text{с}},\qquad k=1,2,\ldots.

Причём чем ближе $\omega_{\text{л}}$ к частоте, кратной $\omega_{\text{с}}$ , тем медленнее колеблется изображение линейки в свете стробоскопа. Уменьшая $\omega_{\text{с}}$ с заведомо большой частоты, мы увидим, как колебания изображения линейки замедляются и, подобрав такую $\omega_{\text{с}}$ , при которой линейка «замрёт» в первый раз, найдём $\omega_{\text{л}}=\omega_{\text{с}}$ .

Снимем зависимость $\nu(l)$ :

$l$ , мм	$\nu$ , об/мин	$l$ , мм	$\nu$ , об/мин	$l$ , мм	$\nu$ , об/мин
70	8650	150	2060	230	910
80	6850	160	1850	240	850
90	5550	170	1720	250	770
100	4470	180	1450	260	720
110	3700	190	1300	270	660
120	3140	200	1170	280	620
130	2740	210	1050	290	580
140	2350	220	980	300	540

Построим график зависимости $\ln\omega(\ln l)$ , из углового коэффициента $k\approx-2$ найдём что $p=-2$ .
От ширины линейки частота колебаний не зависит, то есть $q=0$ . Тогда, решая методом размерностей $\omega=\beta E^m\rho^n l^p h^s$ , получим: $m=1/2$ , $n=-1/2$ , $s=1$ .
Теперь, когда мы знаем вид зависимости частоты от остальных параметров, можно найти модуль Юнга материала пластмассовой линейки. Для этого нам нужно знать отношение плотностей стали и пластмассы, которое можно найти, зная геометрические размеры и отношение масс линеек. Последнее находится с помощью уравновешивания линеек на краю стола и правила моментов (рис. 12). Положение центра масс металлической линейки находится на расстоянии 164 мм от ее края. Положение опоры (края стола) при уравновешивании линеек находится на расстоянии 126 мм. Таким образом, $m_{\text{ст}}/m_{\text{пл}}=63/19$ . Геометрические размеры линеек, измеренные другой линейкой: $l_{\text{ст}}=330\ \text{мм}$ , $l_{\text{пл}}=313\ \text{мм}$ , $b_{\text{ст}}=30\ \text{мм}$ , $b_{\text{пл}}=25\ \text{мм}$ .

Измерив частоту колебаний при длине свободной части пластмассовой линейки, например, 160 мм, получаем значение $1130\ \text{мин}^{-1}$ . В итоге получаем:

E_{\text{пл}}=E_{\text{ст}}\cdot\left(\frac{\omega_{\text{пл}}(l_0)}{\omega_{\text{ст}}(l_0)}\right)^2\left(\frac{h_{\text{ст}}}{h_{\text{пл}}}\right)^2\frac{m_{\text{пл}}\cdot l_{\text{ст}}\cdot h_{\text{ст}}\cdot b_{\text{ст}}}{m_{\text{ст}}\cdot l_{\text{пл}}\cdot h_{\text{пл}}\cdot b_{\text{пл}}}=

=2{,}1\cdot10^{11}\cdot\left(\frac{1130}{1850}\right)^2\left(\frac1{2{,}1}\right)^2\frac{19\cdot330\cdot1\cdot30}{63\cdot313\cdot2{,}1\cdot25}\approx3\cdot10^9\ \text{Па}.

Более точным решением может быть снятие зависимости $\omega(l)$ для пластмассовой линейки, построение двух графиков $\omega(1/l^2)$ и вычисление отношения двух угловых коэффициентов, откуда аналогичным образом вычисляется $E_{\text{пл}}$ . Для оценки погрешности модуля Юнга считаем, что $\Delta\omega=10\ \text{мин}^{-1}$ , погрешность измерения любой длины линейкой $\Delta l=1\ \text{мм}$ , такое же значение имеет погрешность определения положения опоры при измерениях, необходимых для определения отношения масс линеек. Из вышесказанного следует, что основной вклад в погрешность внесут измерения: 1) ширины линеек ( $\approx4\%$ ), 2) разности положений опор ( $\approx3\%$ ), а также указанная в условии погрешность определения толщины ( $\approx20\%$ , т.к. в окончательный ответ толщина входит в третьей степени). Окончательно погрешность результата $\approx30\%$ .

Оригинал в Архива: finalE13.pdf