Съдържание

ВсОШ 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (11 кл.). 11 класс — Разряд батарейки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Экспериментальный тур

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Методическое пособие. Владивосток, 2013 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com

Класс	Задача 1	Задача 2
9	Майер В.	Замятнин М.
10	Фольклор	Костарев В.
11	Гуденко А.	Костарев В.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 18 апреля 2013 г. в 14:12.

141700, Московская область, г. Долгопрудный, Московский физико-технический институт.

Условие

Оборудование. Новая батарейка АА, мультиметр в режиме термометра (положение «ТЕМР»), мультиметр, резистор сопротивлением $r=1{,}0\ \text{Ом}$ , секундомер, шприц с делениями, вода в стаканчике, калориметр (пенопластовый контейнер), миллиметровая бумага.

1. Определите ток короткого замыкания $I_{0,\text{кз}}$ и внутреннее сопротивление $R_0$ новой (не бывшей в употреблении) батарейки.

2. Измерьте заряд $q$ (в А·час), который отдаст батарейка при её полной разрядке через минимальное постоянное сопротивление.

3. Измерьте в том же процессе полную теплоту $Q_0$ , выделившуюся в батарейке. Теплоёмкость батарейки $C=61\pm2\ \text{Дж}/{}^\circ\text{C}$ , а удельная теплоёмкость воды $c_{\text{в}}=4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C})$ .

4. Используя измеренное значение $q$ , определите количество джоулевой теплоты $Q_1$ , которая выделилась в батарейке, и сравните его с $Q_0$ . Считайте, что при длительной разрядке на малом сопротивлении ЭДС $\mathcal{E}$ выданной вам батарейки слабо меняется и равна в среднем $\mathcal{E}_{\text{ср}}=1{,}0\pm0{,}1\ \text{В}$

ВНИМАНИЕ. В некоторых случаях при разрядке батарейка может сильно греться, поэтому проводите длительные измерения, поместив батарейку в контейнер с водой.

Примечание. Во время длительного разряда батарейки даже кратковременное (порядка нескольких секунд) изменение сопротивления нагрузки может значительно изменить характер последующего разряда из-за эффекта восстановления ЭДС.

Если измеряемая мультиметром величина превышает предел измерения, а на дисплее нет символа «зашкаливания» (рис. 6), то показаниям прибора можно доверять.

Для измерения токов используйте режим «10А», и входные гнёзда «СОМ» и «10ADC».

Вам может быть выдана новая батарейка взамен старой, но только один раз.

Решение

Подключим амперметр в режиме вольтметра к батарейке и найдём её начальную ЭДС $\mathcal{E}_0=1{,}62\pm0{,}01\ \text{В}$ . Затем измерим напряжение на выданном резисторе, ненадолго подключив его к батарейке $U_0=1{,}40\pm0{,}01$ . Таким образом, зная сопротивление резистора $r=1{,}0\ \text{Ом}$ можно вычислить $I_{0,\text{кз}}$ и $R_0$ :

R_0=\frac{\mathcal{E}_0-U_0}{U_0}r=0{,}16\ \text{Ом},\qquad I_{0,\text{кз}}=\frac{\mathcal{E}_0}{R_0}=\frac{\mathcal{E}_0U_0}{(\mathcal{E}_0-U_0)r}=10\ \text{А}.

Оценим погрешности:

\left(\frac{\Delta R_0}{R_0}\right)^2\approx\left(\frac{\Delta(\mathcal{E}_0-U_0)}{\mathcal{E}_0-U_0}\right)^2+\left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2=0{,}09^2+0{,}05^2,\qquad\left(\frac{\Delta I_0}{I_0}\right)^2\approx\left(\frac{\Delta R_0}{R_0}\right)^2

R_0=0{,}16\pm0{,}02\ \text{Ом},,\qquad I=10\pm1\ \text{А}.

Поскольку в условии спрашивалось минимальное постоянное сопротивление, а таким сопротивлением обладает амперметр на пределе «10А», то разряжать батарейку нужно через него. Положим батарейку в калориметр, нальём небольшое количество воды $V=20\ \text{мл}$ , чтобы залить батарейку полностью. Опустим также в воду термопару, чтобы следить за изменением температуры. Наконец, запустим секундомер, замкнём батарейку на амперметр и будем следить, за показаниями трёх приборов, включая мультиметр с термопарой. Полученные значения $I(\tau)$ и $t(\tau)$ занесём в таблицу и построим на графиках (рис. 13 и 14). Здесь и далее $\tau$ — время, а $t$ — температура в $^\circ\text{C}$ . Батарейка разряжается достаточно долго: будем записывать измерения в течение 20–30 мин. Также заметим, что в начале имеет смысл записывать показания тока как можно чаще, а примерно через 10 мин достаточно одного измерения в минуту.

Так как $I=dq/d\tau$ , то протёкший заряд $q_1$ будет равен площади под графиком $I(\tau)$ :

q_1=S_1=1{,}00\ \text{А}\cdot\text{ч}.

Поскольку в конце измерений ток уменьшается слабо, но при этом не является нулевым, то требуется оценить оставшееся время $\tau'$ , необходимое для полной разрядки батарейки и заряд $q'$ , который при этом выделится. Для этого заметим, что в течение последних 20 мин ток спадал линейно, поэтому линейная аппроксимация даст нам хорошую оценку этих величин.

\tau'=\frac{I'}{k}=\frac{0{,}24\ \text{А}}{0{,}39\ \text{А/ч}}\approx0{,}6\ \text{часа},\qquad q'=\frac12\tau'I'=0{,}07\ \text{А}\cdot\text{ч}.

Таким образом, малость этой величины по сравнению с $q_1$ позволяет нам действительно обрывать измерения на 30 минутах. Погрешность определения $q_1$ найдём из графика. Первые $\tau_1\approx10\ \text{мин}$ ток менялся быстро, поэтому ошибка определения тока составляла порядка $\Delta I_1=0{,}05\ \text{А}$ . Затем, когда показания амперметра менялись не так резко, погрешность определения тока $\Delta I_2=0{,}01\ \text{А}$ .

Также у нас есть погрешность определения площади под графиком. Другими словами:

\Delta q_1=\Delta q=\Delta I_1\tau_1+\Delta I_2(\tau_\Sigma-\tau_1)+\Delta S_1\approx0{,}05\ \text{А}\cdot\text{ч}.

Окончательно:

q=q_1+q'=1{,}07\pm0{,}05\ \text{А}\cdot\text{ч}.

Теплоёмкость всей системы:

C_0=C+c_{\text{в}}\rho V=145\pm4\ \text{Дж},

Поэтому, когда система нагрелась к концу эксперимента на $\Delta t_1=20\pm2\ {}^\circ\text{C}$ , то запасённое тепло по сравнению с начальным состоянием:

Q_{\text{з}}=C_0\Delta t_1=2{,}9\pm0{,}3\ \text{кДж}.

Построим график температуры от времени. Из графика видно, что сначала температура увеличивалась, а потом вышла на плато: тепловые потери сравнялись с выделяемой на батарейке мощности. Оценим тепловые потери из закона:

P=\alpha(t-t_0),

где $P$ — мощность тепловых потерь, $t$ — температура воды в калориметре, $t_{\text{к}}$ — комнатная температура, $\alpha$ — коэффициент теплопотерь, который в течение одного эксперимента можно считать постоянным. Поскольку $P=dQ/d\tau$ , то тепловые потери $Q_{\text{п}}$ :

Q_{\text{п}}=\int P\,d\tau=\alpha\int(t-t_{\text{к}})\,d\tau.

Последний интеграл есть не что иное, как площадь $S_2$ между графиком нагрева и прямой соответствующей комнатной температуре.

Чтобы определить коэффициент $\alpha$ , разомкнём цепь и измерим кривую остывания $t_{\text{ост}}(\tau)$ . Так как $t_{\text{ост}}=t_{\text{к}}+(t_0-t_{\text{к}})e^{-\alpha t/C_0}$ , то построив график $\ln(t_{\text{ост}}-t_{\text{к}})$ от времени определим угловой коэффициент и вычислим $\alpha=0{,}04\pm0{,}01\ \text{Вт}/{}^\circ\text{C}$ .

Полное тепло, выделившееся в батарейке найдём как сумму:

Q_0=Q_{\text{з}}+Q_{\text{п}}=4{,}1\pm0{,}7\ \text{кДж}.

Поскольку сопротивлением амперметра при разрядке можно пренебречь, то практически вся работа батарейки $A$ переходит в джоулево тепло $Q_1$ :

Q_1=A=\mathcal{E}_{\text{ср}}q=1{,}07\ \text{Вт}\cdot\text{ч}=3{,}8\pm0{,}5\ \text{кДж}.

Видно, что в пределах погрешности $Q_1=Q_0$ .

Оригинал в Архива: finalE13.pdf