Съдържание

ВсОШ 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (11 кл.). 11 класс — Колебания спицы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Владивосток, 2013 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Замятнин М.	Иванов М.	Домарецкий Д.	Замятнин М.	Шведов О.
10	Савинов Е.	Щеронов А.	Бутиков Е.	Аполонский А.	Щеронов А., Александров Д.
11	Слободянин В.	Чивилёв В.	Аполонский А.	Бабинцев В.	Ерофеев И.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 18 апреля 2013 г. в 10:47.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

На концах лёгкой спицы длины $L$ закреплены два одинаковых маленьких металлических шарика (рис. 10). Спицу поставили на подставку ширины $l\ll L$ так, что её середина оказалась над серединой подставки, и отклонили на небольшой угол $\varphi_0\ll1$ . Определите период малых колебаний спицы, если при переходе спицы с одного ребра на другое потери энергии пренебрежимо малы, а спица от подставки не отрывается и не проскальзывает.

Решение

Рассмотрим вращение спицы вокруг левого края подставки. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий шариков:

K=\frac m2\left(\frac{L-l}{2}\right)^2\dot\varphi^2+\frac m2\left(\frac{L+l}{2}\right)^2\dot\varphi^2=\frac{m(L^2+l^2)}4\dot\varphi^2\approx\frac{mL^2}4\dot\varphi^2.

Потенциальная энергия системы:

\Pi=-mg\left(\frac{L-l}{2}\right)\varphi+mg\left(\frac{L+l}{2}\right)\varphi=mgl\varphi.

Механическая энергия системы сохраняется, поэтому:

\dot K+\dot\Pi=\frac{mL^2}{2}\ddot\varphi\dot\varphi+mgl\dot\varphi=0.

Разделив на $\dot\varphi$ (решение $\dot\varphi=0$ нас не интересует), получим уравнение равноускоренного движения:

\ddot\varphi=-\frac{2gl}{L^2}.

Время $\tau$ , за которое спица вернётся в горизонтальное положение, найдём из условия:

\frac{\ddot\varphi\tau^2}{2}=-\varphi_0,\quad\text{откуда }\tau=\sqrt{\frac{\varphi_0}{gl}}L.

После того, как спица вернётся в горизонтальное положение, она начнёт движение относительно правого угла подставки, затем снова относительно левого и так далее. Период такого движения:

T=4\tau=4L\sqrt{\frac{\varphi_0}{gl}}.

Оригинал в Архива: finalT13.pdf