Съдържание

ВсОШ 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (9 кл.). 9 класс — Дело — труба!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Владивосток, 2013 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Замятнин М.	Иванов М.	Домарецкий Д.	Замятнин М.	Шведов О.
10	Савинов Е.	Щеронов А.	Бутиков Е.	Аполонский А.	Щеронов А., Александров Д.
11	Слободянин В.	Чивилёв В.	Аполонский А.	Бабинцев В.	Ерофеев И.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 18 апреля 2013 г. в 10:47.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В теплоизолированном цилиндре на расстоянии $L_1=80\ \text{см}$ друг от друга находятся два легкоподвижных теплопроводящих поршня. Пространство между ними заполнено водой, а снаружи на поршни действует атмосферное давление (рис. 2).

Слева от левого поршня включили холодильник, который поддерживает постоянную температуру $t_1=-40\ {}^\circ\mathrm C$ , а справа от правого — нагреватель, поддерживающий постоянную температуру $t_2=16\ {}^\circ\mathrm C$ . Через некоторое время система пришла в стационарное состояние и расстояние между поршнями стало $L_2$ .

После этого поршни снаружи теплоизолировали и дождались установления теплового равновесия в цилиндре. Расстояние между поршнями стало $L_3$ . Найдите расстояния $L_2$ и $L_3$ . Плотность льда $\rho_\text{л}=900\ \text{кг/м}^3$ , плотность воды $\rho_\text{в}=1000\ \text{кг/м}^3$ , удельная теплоёмкость воды $c_\text{в}=4200\ \text{Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}$ , удельная теплоёмкость льда $c_\text{л}=2100\ \text{Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}$ , удельная теплота плавления льда $\lambda=330\ \text{кДж/кг}$ , коэффициент теплопроводности льда в 4 раза больше коэффициента теплопроводности воды.

Указание. Считайте, что мощность теплового потока $P$ вдоль цилиндра, между торцами которого поддерживается постоянная разность температур $\Delta t$ , равна:

P=\frac{kS\Delta t}{L},

где $k$ — коэффициент теплопроводности среды, $S$ — площадь торца цилиндра, $L$ — длина цилиндра.

Решение

Пусть в первом случае столб воды имеет длину $L_\text{в}$ , а столб льда $L_\text{л}$ . Тогда:

L_\text{в}+L_\text{л}=L_2.\qquad (1)

Так как масса содержимого между поршнями постоянна:

L_\text{в}\rho_\text{в}+L_\text{л}\rho_\text{л}=L_1\rho_\text{в}.\qquad (2)

Поскольку тепловые потоки через лёд и воду равны, то:

\frac{kS(t_2-t_0)}{L_\text{в}}=\frac{4kS(t_0-t_1)}{L_\text{л}},\quad\text{где }t_0=0\ {}^\circ\mathrm C.\qquad (3)

Из уравнения (3), с учетом заданных температур находим, что $L_\text{л}=10L_\text{в}$ . Из уравнений (1) и (2) получим: $L_\text{в}=8\ \text{см}$ , и $L_2=11L_\text{в}=88\ \text{см}$ .

Тепловой поток $P$ через каждое сечение одинаков:

P=\frac{kS(t_2^{\prime}-t_1^{\prime})}{\Delta L},

где $t_1^{\prime}$ , $t_2^{\prime}$ — температуры слева и справа от фрагмента цилиндра длиной $\Delta L$ . Отсюда $t_2^{\prime}-t_1^{\prime}=(P\Delta L)/(kS)$ , то есть $\Delta t\sim\Delta L$ . Это означает, что температура льда и воды от поршня до границы раздела изменяется по линейному закону, поэтому можно считать, что соответствующие части системы имеют среднюю температуру (лёд $t_\text{л}=-20\ {}^\circ\mathrm C$ , вода $t_\text{в}=8\ {}^\circ\mathrm C$ ). После того как систему теплоизолировали, между поршнями устанавливается тепловое равновесие с некоторой температурой $t$ . При охлаждении воды до температуры плавления выделится количество теплоты

Q_1=L_\text{в}S\rho_\text{в}c_\text{в}t_\text{в}=33600L_\text{в}S\rho_\text{в}.

Для нагревания льда до температуры плавления потребуется количество теплоты

Q_2=10L_\text{в}S0{,}9\rho_\text{в}c_\text{л}(0-t_\text{л})=378000L_\text{в}S\rho_\text{в}.

Следовательно, вода точно охладится до $0\ {}^\circ\mathrm C$ и начнет замерзать. При замерзании выделится количество теплоты

Q_3=\lambda L_\text{в}S\rho_\text{в}=330000L_\text{в}S\rho_\text{в}.

Этого тепла не хватит, чтобы нагреть лед до температуры плавления. Следовательно, вся вода замерзнет. Тогда:

L_3=\frac{10}{9}L_1\approx88{,}9\ \text{см}.

Оригинал в Архива: finalT13.pdf